Es.1 calcolare $$ \lim_{n \rightarrow \infty}\int _0 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx }$$ ho risolto così:
abbiamo innanzitutto spezzato l'integrale negli intervalli in $[ 0,1 ]$ e $[ 1,\infty]$ $$ \int _0 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx} = \int _0 ^ 1 {\frac{1} {1+x^n}dx} + \int _1 ^ {\infty}{\frac{1} {1+x^n}dx} $$
Poi notiamo che $\frac{1} {1+x^n}\rightarrow 1$ per $0<x<1$
e $\frac{1} {1+x^n}\rightarrow 0$ per $1<x<+\infty$
Allora per Beppo-Levi concludiamo che la somma dei due integrali tende a $$ \int _0 ^ 1{ 1 dx} + \int _1 ^ {\infty}{0 dx} = 1 $$
Es.2 calcolare $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {\frac{1}{1+nx} dx} $$
che abbiamo calcolato prima per n fissato, sfruttando quindi l'equivalenza tra integrale di Lebesgue e quello di Riemann su intervalli per funzioni integrabili Riemann e siamo quindi passati al limite $$ \lim_{n\rightarrow \infty} [\frac 1 n \log(1+nx)]_0^n =0 $$
Es.3 calcolare $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{\pi e}} n)e^\frac x 2 dx} $$
in questo caso il risultato vale meno infinito.
abbiamo maggiorato in questo modo : $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{\pi e}} n)e^\frac x 2 dx} \leqslant \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1-\frac{x^{2}} n)e^\frac x 2 dx} $$ ed integrando per parti troviamo $$ \lim_{n\rightarrow \infty} e^\frac n 2 (-n+ \frac 4 n - \frac 8 {n^2})=-\infty$$
Es.4 $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0 ^n {(1+\frac{-x^{27}} n)e^{-2x} dx} $$
fino ad ora gli integrali sono risolti correttamente?