gugo82 ha scritto:Ah, un polo semplice con residuo nullo... Ma che bello!
Dai, su. I poli semplici non possono avere residuo nullo (perché?): dunque o il tuo polo non è semplice, o non è un polo.
Un polo semplice ha unico termine non nullo di quelli a potenze negative nella serie di Laurent, residuo nullo implicherebbe $a_-1=0$, questa contraddizione implica che i poli semplici non possono avere residuo nullo, quindi il mio o non è un polo semplice, o non è un polo; concentrandomi sul denominatore dell'integranda mi ero erroneamente immediatamente convinto di avere a che fare con un polo semplice.
per individuare la natura della singolarità provo a calcolarne la serie di Laurent usando lo sviluppo dell'esponenziale applicato a $i z$: $e^(i z)=sum_{n=0}^{+infty} (iz)^n/(n!)$
$f(z)=(z+i e^(i z) -i)/(2z)= z/(2z) -i/(2z) + i/(2z) sum_{n=0}^{+infty} (iz)^n/(n!)=1/2-i/(2z) +1/2 sum_{n=0}^{+infty} (i^(n+1) z^(n-1))/(n!)=$
$=1/2-i/(2z) +(i/(2 z)-1/2+1/2 sum_{n=2}^{+infty} (i^(n+1) z^(n-1))/(n!))=1/2 sum_{n=2}^{+infty} (i^(n+1) z^(n-1))/(n!)$
mancando la parte singolare della serie di Laurent si ha in $z=0$ una singolarità eliminabile, quindi residuo nullo, e l'integrale da calcolare per il teorema dei residui sarebbe nullo, però così continua a essere facile, quindi ho la sensazione di aver nuovamente sbagliato qualcosa