[EX] Una successione di funzionali

Messaggioda gugo82 » 15/07/2018, 23:50

Propongo un esercizio raccattato sul web.
Non ho ancora una soluzione... Ci lavorerò nei prossimi giorni.

***

Esercizio:

Per ogni $n in NN$, chiamiamo $T_n$ il funzionale definito in $L^oo(0, +oo)$ ponendo:
\[
T_nf := n\ \left( \int_0^1 x^n f(x)\ \text{d} x + \int_1^{+\infty} e^{-n x} f(x)\ \text{d} x\right)\; .
\]

1. Dimostrare che ogni $T_n$ è lineare e calcolarne la norma.

2. Esiste un funzionale lineare $T$ tale che \(T_n \stackrel{*}{\rightharpoonup} T\)?
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda Bremen000 » 16/07/2018, 13:45

1.

\[ |T_nf | \le \Biggl ( \int_0^{1} nx^ndx + \int_1^{+\infty}ne^{-nx}dx \Biggr ) \|f\|_{L^{\infty}(0, +\infty)} = \Biggl ( \frac{n}{n+1} + e^{-n} \Biggr ) \|f\|_{L^{\infty}(0, +\infty)} \Rightarrow \]
\[ \Rightarrow \| T_n\|_{\text{op}} \le \frac{n}{n+1} + e^{-n} \]

Se \( f(x) \equiv 1 \) si ha \( T_nf = \frac{n}{n+1} + e^{-n} \) quindi \( \| T_n\|_{\text{op}} = \frac{n}{n+1} + e^{-n} \)

2.
Mi viene che sicuramente \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni ma non ho pensato a cosa fare per \( L^{\infty} (0, +\infty) \) o se c'è un modo furbo per concludere da qua.
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda dissonance » 01/08/2018, 11:43

Bremen000 ha scritto:2.
Mi viene che sicuramente \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni

L'unica obiezione che ho è che \(\delta_1\) non è ben definito su \(L^\infty(0, \infty)\), perché gli elementi di \(L^\infty\) sono definiti a meno di insiemi di misura nulla.

Giusto per aggiungere un paio di ovvietà:

Ora non mi ricordo precisamente il significato dei vari \(\rightharpoonup\) con stellina o no, ma immagino che \(T_n\rightharpoonup^\star T\) significhi che \(T_n f\to Tf\) per ogni \(f\in L^\infty(0, \infty)\). Giusto? Se così fosse, allora se hai dimostrato che \(T_n\to \delta_1\) nel senso delle distribuzioni, dovresti poter dimostrare velocemente che \(T_n\rightharpoonup^\star \delta_1\) nel senso di \(C([0, \infty))\). Su questo sottospazio di \(L^\infty\), \(\delta_1\) è ben definita.
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda Bremen000 » 02/08/2018, 19:52

Ciao dissonance, non so se la terminologia è esatta ma intendevo dire che “vista la successione di funzionali $T_n$ come una successione di distribuzioni allora il suo limite è (nel senso delle distribuzioni) $\delta_1$.” Il problema è proprio quello che sottolinei, cioè che su $L^{\infty}$ tale limite non è ben definito.

dissonance ha scritto: [...] Giusto? [...]

Si, ho ho sempre inteso così quel simbolo!

dissonance ha scritto: [...]Se così fosse, allora se hai dimostrato che \( T_n\to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni, dovresti poter dimostrare velocemente che \( T_n\rightharpoonup^\star \delta_1 \) nel senso di \( C([0, \infty)) \). Su questo sottospazio di \( L^\infty \), \( \delta_1 \) è ben definita.


Per la convergenza, sì, con un argomento di densità non dovrebbe essere difficile (riprendendo quello che hai scritto in un’altro post, ebbene no, non ho ancora fatto i conti ma li farò!!).

Però \( C([0, + \infty)) \) non è un sottospazio di \( L^{\infty} (0, +\infty)) \)!

Detto ciò, non so che conclusioni trarre per l’esercizio anche se non mi ci sono messo poi più seriamente a lavorare su!
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda dissonance » 03/08/2018, 08:51

Ah già, è vero, non è un sottospazio perché scritto così include funzioni non limitate. In realtà mi riferivo allo spazio delle funzioni continue e limitate.
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda Bremen000 » 12/08/2018, 09:54

@gugo, ci/mi puoi dare qualche suggerimento per concludere o la soluzione?
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda gugo82 » 16/08/2018, 13:13

Per la soluzione, non ce l'ho... Ma se devo tirare ad indovinare, suggerirei di provare che $T_n u -> delta_1 u$ per ogni $u in C_c^oo subset L^oo$ e di qui concludere per assurdo (perché è ben noto che non esiste alcuna funzione $d in L^1 =(L^oo)^**$ che rappresenti la $delta_1$).
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda Bremen000 » 06/09/2018, 09:13

Ciao gugo, quando scrivo che
Bremen000 ha scritto:[...] \( T_n \to \delta_1 \) nel senso delle distribuzioni [...]


intendo dire esattamente che

gugo82 ha scritto:[...] $T_n u -> delta_1 u$ per ogni $u in C_c^oo subset L^oo$[...]


Ma non mi è chiaro come concludere da qui. Sebbene sappia che nessuna funzione del duale di \(L^{\infty} \) rappresenti la \( \delta_1 \) su tutto \( L^{\infty} \) non potrebbe essere che il nostro funzionale \( T \) sia un'estensione di Hahn-Banach della \( \delta_1 \) da \( C_c^{\infty}\) a tutto \( L^{\infty} \)? Se così fosse allora testando la successione sulle \( C_c^{\infty} \) non noterei nulla di strano! O no?

P.S. : il lasso di tempo che intercorre tra il mio esame di analisi funzionale e il presente si allunga sempre di più, non sono quindi sicurissimo di quest'ultimo paragrafo!
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Re: [EX] Una successione di funzionali

Messaggioda Bremen000 » 14/09/2018, 20:00

Non venendone a capo con i miei mezzi ho posto questo quesito su MSE. Ne è venuto fuori che in effetti la risposta al punto 2 è negativa ma la costruzione che lo dimostra (e di cui mi sono andato a sistemare i dettagli) è al di là della mia inventiva. Questo un po' mi consola.
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