[EX] Una successione di funzionali
Inviato: 15/07/2018, 23:50
Propongo un esercizio raccattato sul web.
Non ho ancora una soluzione... Ci lavorerò nei prossimi giorni.
***
Esercizio:
Per ogni $n in NN$, chiamiamo $T_n$ il funzionale definito in $L^oo(0, +oo)$ ponendo:
\[
T_nf := n\ \left( \int_0^1 x^n f(x)\ \text{d} x + \int_1^{+\infty} e^{-n x} f(x)\ \text{d} x\right)\; .
\]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è lineare e calcolarne la norma.
2. Esiste un funzionale lineare $T$ tale che \(T_n \stackrel{*}{\rightharpoonup} T\)?
Non ho ancora una soluzione... Ci lavorerò nei prossimi giorni.
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Esercizio:
Per ogni $n in NN$, chiamiamo $T_n$ il funzionale definito in $L^oo(0, +oo)$ ponendo:
\[
T_nf := n\ \left( \int_0^1 x^n f(x)\ \text{d} x + \int_1^{+\infty} e^{-n x} f(x)\ \text{d} x\right)\; .
\]
1. Dimostrare che ogni $T_n$ è lineare e calcolarne la norma.
2. Esiste un funzionale lineare $T$ tale che \(T_n \stackrel{*}{\rightharpoonup} T\)?