Dato il funzionale $ F: l^2(C) |-> C $ con $ F({a_(n)})=sum_(n = 1) ^(M)(a_n/sqrt(n)) $ ,dove $ l^2(C) $ è lo spazio delle successioni di numeri complessi $ {a_(n)}_(n=1)^(+∞) $ tali che $ sum_(n= 1) ^(+∞)|| a_n||^2 <∞ $, mi viene chiesto di determinare se è continuo su $ l^2(C) $, per M finito o infinito. Per M finito ho concluso che è continuo, ma per M infinito non so come procedere, non riesco a trovare un controesempio ma nemmeno a usare qualche diseguaglianza in modo efficace.
La definizione di continuità che ho utilizziato è la seguente:
$ AA epsilon>0 , EE delta >0 $ tale che $ AA {b_(n,k)}_(n=1)^(+∞) $ tale che $ || b_(n,k)-a_n||_(l^2(C))^2<delta ^2 $ si ha $ || F(b_(n,k))-F(a_n)||_(C)<epsilon $ . Per M finito, da $ || b_(n,k)-a_n||_(l^2(C))^2=sum_(n = 1) ^(+∞)||b_(n,k)-a_k||^2>=||b_(n,k)-a_k||^2 , AAn $ per k grande ottengo $ ||b_(n,k)-a_k||^2<delta ^2 , AAn $ e alla fine valuto, per k grande, $ || F(b_(n,k))-F(a_n)||_(C)= || sum_(n = 1) ^(M)((b_(n,k)-a_n)/sqrt(n))||<= sum_(n = 1) ^(M)((|| b_(n,k)-a_n|| )/sqrt(n))<delta sum_(n = 1) ^(M)1/sqrt(n)=epsilon $ .
Voi sapete dirmi se è continuo o meno per M infinito?