Funzionale su spazio di Hilbert

Messaggioda Dal » 16/07/2018, 23:40

Dato il funzionale $ F: l^2(C) |-> C $ con $ F({a_(n)})=sum_(n = 1) ^(M)(a_n/sqrt(n)) $ ,dove $ l^2(C) $ è lo spazio delle successioni di numeri complessi $ {a_(n)}_(n=1)^(+∞) $ tali che $ sum_(n= 1) ^(+∞)|| a_n||^2 <∞ $, mi viene chiesto di determinare se è continuo su $ l^2(C) $, per M finito o infinito. Per M finito ho concluso che è continuo, ma per M infinito non so come procedere, non riesco a trovare un controesempio ma nemmeno a usare qualche diseguaglianza in modo efficace.
La definizione di continuità che ho utilizziato è la seguente:
$ AA epsilon>0 , EE delta >0 $ tale che $ AA {b_(n,k)}_(n=1)^(+∞) $ tale che $ || b_(n,k)-a_n||_(l^2(C))^2<delta ^2 $ si ha $ || F(b_(n,k))-F(a_n)||_(C)<epsilon $ . Per M finito, da $ || b_(n,k)-a_n||_(l^2(C))^2=sum_(n = 1) ^(+∞)||b_(n,k)-a_k||^2>=||b_(n,k)-a_k||^2 , AAn $ per k grande ottengo $ ||b_(n,k)-a_k||^2<delta ^2 , AAn $ e alla fine valuto, per k grande, $ || F(b_(n,k))-F(a_n)||_(C)= || sum_(n = 1) ^(M)((b_(n,k)-a_n)/sqrt(n))||<= sum_(n = 1) ^(M)((|| b_(n,k)-a_n|| )/sqrt(n))<delta sum_(n = 1) ^(M)1/sqrt(n)=epsilon $ .
Voi sapete dirmi se è continuo o meno per M infinito?
Dal
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Re: Funzionale su spazio di Hilbert

Messaggioda gugo82 » 16/07/2018, 23:53

Che roba è $M$? Immagino un numero naturale.

Poiché $F$ è lineare, ti basta mostrare che esso è limitato: quindi lascia perdere i $delta$ e gli $ epsilon$ e concentrati sulle maggiorazioni in norma.
Che $F$ sia continuo per $M$ finito è semplice da dimostrare (puoi usare maggiorazioni semplici).
Per $M=oo$, invece, non mi sembra nemmeno che $F$ sia definito su tutto \(\ell^2\)... Ad esempio, se prendi $a_n:= 1/(sqrt(n) log n)$ hai \((a_n) \in \ell^2\) e però la serie che esprime formalmente $F(a_n)$, cioè $sum 1/(n log n)$, diverge.
Ti pare?
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Re: Funzionale su spazio di Hilbert

Messaggioda Dal » 17/07/2018, 00:04

Sì, M è un numero naturale, è nascosto sopra ad alcune sommatorie. Grazie mille, potrei pensarlo come ad un controesempio
Dal
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