Risoluzione integrale

Buongiorno a tutti! Sono un paio di giorni che sto cercando di risolvere il seguente integrale:
$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{cos(x)}{cosh(x)} $
Ho provato ad integralo nel campo complesso ed ad utilizzare i residui, ma non riesco comunque a venirne a capo. Qualcuno mi potrebbe aiutare? Grazie in anticipo a tutti coloro che mi risponderanno

Prova a postare un tentativo di soluzione.

Ho calcolato il valore dei residui nei poli, ossia nei punti $ i(\frac{\pi}{2}+k\pi), k\in \mathbb{Z} $. Dopo ho provato ad integrare lungo un circuito che arrivasse da $ -k\pi $ a $ k\pi $ con un segmento e toccasse $ ik\pi $ con altri due segmenti che partissero negli estremi. L’idea è quella di verificare che l’integrale lungo i segmenti obliqui tenda a zero facendo tendere $ k $ ad infinito, ma non riesco a verificarlo.