Superadditività della misura dei compatti

[Bossmer]

Buongiorno Dissonance,
sto cercando di dimostrare il collegamento fra la definizione di misurabilità di Caratheodory e quella che usa misura interna ed esterna...

Però sono in alto mare... Perché il problema è che la definizione di Caratheodory mi dice che $E$ è misurabile se $\forall F\subset \mathbb{R}^n$ si ha che $m_e(F)=m_e(F\cap E) + m_e(F\cap E^c)$ mentre l'altra definizione afferma che $E$ è misurabile se $m_i(E)=m_e(E)$ e non riesco proprio a vedere la strada per connettere con un "se e solo se" queste due affermazioni... Saresti in grado di indicarmi la via ?

[dissonance]

Aaaaahhh buh. Questo sarà sicuramente dato come esercizio su qualche libro di teoria della misura. Prova a consultare il libro di Bogachev che è una specie di enciclopedia di queste cose. Sarebbe più simpatico cercare di capirlo noi qui sopra ma in questo momento non mi è proprio possibile.

[Bremen000]

Penso di riuscire a far vedere che interna/esterna implica Caratheodory. Chiamo $m$ la misura di Lebesgue definita nel senso interna/esterna (i/e)

Sia $E \subset \mathbb{R}^n$ un insieme i/e misurabile. Allora per ogni $\epsilon>0$ esistono $F_{\epsilon} \subset E$ chiuso e $E \subset U_{\epsilon}$ aperto tali che $m(U_{\epsilon}-F_{\epsilon}) < \epsilon$. Sia $A \subset \mathbb{R}^n$ arbitrario. Sia $V$ un aperto che contiene $A$. Allora $A-E \subset V-F_{\epsilon}$ e $A \cap E \subset V \cap U_{\epsilon}$ da cui
\[ m_e (A-E) + m_e (A \cap E) \le m(V-F_{\epsilon}) + m(V \cap U_{\epsilon}) \le m(V-U_{\epsilon}) + m(U_{\epsilon}-F_{\epsilon}) + m(V \cap U_{\epsilon}) < m(V) + \epsilon \]

Passando all’inf su \( \{ V \mid A \subset V \, , \, V \text{ aperto} \} \) ottieni

\[ m_e (A-E) + m_e (A \cap E) \le m_e(A) + \epsilon \]

Per arbitrarietà di $\epsilon$ concludi.

L’implicazione opposta credo sia molto più lunga, ma non ricordo bene. Magari in questi giorni ci provo ma si useranno trucchetti simili.

[Bossmer]

Favoloso! e oltre alla definizione di misura hai usato solo il fatto che l'unione di aperti disgiunti è misurabile e pari alla somma delle misure ! grazie Bremen000!!
Nel frattempo ci provo anch'io a fare quella opposta, se ci riesco la scrivo