Vi sembra giusto il ragionamento/conto che ho fatto per determinare la derivata distribuzionale della funzione:
\( f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\longrightarrow\mathbb{R}\quad\text{tale che}\quad f(x)=\ln{|x|} \)
Con \( j:L^1_{loc}(\mathbb{R})\longrightarrow\mathcal{D'}(\mathbb{R}) \) indico l'immersione delle funzioni localmente integrabili nello spazio delle distribuzioni.
Osserviamo che $f$ è una funzione localmente integrabile perché $f$ continua su $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0} \ln{|x|}=-\infty \) di ordine inferiore ad ogni potenza e quindi per la teoria degli integrali impropri \( \int_{K} |\ln{|x|}|dx \) converge per qualunque compatto $K$.
Allora possiamo immergere $f$ nelle distribuzioni ed ha senso calcolare la derivata distribuzionale di $j(f)$.
Sia \( \phi \in\mathcal{D(\mathbb{R})} \) (lo spazio delle funzioni \( C^{\infty} \) a supporto compatto) con $\text{supp}(\phi)\subseteq (a,b)$, si ha che
\( \begin{align*}j(f)'(\phi)&=-j(f)(\phi ')=\\
&=-\displaystyle \int_{\mathbb{R}}\ln{|x|\phi'(x)dx}=[-\ln{|x|}\phi(x)]^{b}_{a}+\int_{a}^{b}\frac{\phi(x)}{x}dx&=\\
&=-\ln{|b|}\phi(b)+\ln{|a|}\phi(a)+\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x}dx&=\\
&=\int_{\mathbb{R}}\frac{\phi(x)}{x}dx=v.p.(\frac{1}{x}) \end{align*}\)
Secondo voi i passaggi sono giusti o ci sono delle imprecisioni?
