Zeri e singolarità

[Ianya]

Buon pomeriggio
Avrei dei dubbi riguardo quei tipi di esercizio in cui si richiede di determinare zeri e singolarità di una funzione complessa, eventualmente anche nel punto all'infinito.
Per esempio, data la funzione
$ (e^(2iz)-1)/(2z^2+ pi z - pi ^2) $
gli zeri sono da ricercare tra i punti che annullano il numeratore: $z= k pi$ al variare di $k$ in $Z$
Poiché le singolarità sono $ z=-pi (eliminabile), z =pi/2 (polo semplice) $, gli zeri sono di tipo $z = 2k pi$.
Per determinarne l'ordine, inizio calcolando la derivata prima della funzione e la pongo uguale a zero oppure vedo se annullano anche essa e, in tal caso, come mi regolo con il $k$?
E per quanto riguarda il punto all'infinito, come conviene procedere?
Grazie in anticipo

[anonymous_0b37e9]

Funzione

$f(z)=(e^(2iz)-1)/(2z^2+piz-pi ^2)$

Possibili zeri

$[e^(2iz)-1=0] rarr [e^(2iz)=1] rarr [2z=2n\pi] rarr [z=n\pi]$

Possibili poli

$[2z^2+piz-pi ^2=0] rarr [z=-\pi] vv [z=\pi/2]$

Con un po' di esperienza si intuisce che:

Zeri del primo ordine

$[z=n\pi] ^^ [n ne -1]$

Singolarità eliminabili

$z=-\pi$

Poli del primo ordine

$z=\pi/2$

Quindi, si dimostrano i due seguenti limiti:

$lim_(z rarr -\pi)(e^(2iz)-1)/(2z^2+piz-pi ^2)=l_1 ne 0$

$lim_(z rarr \pi/2)(z-\pi/2)*(e^(2iz)-1)/(2z^2+piz-pi ^2)=l_2 ne 0$