Il terzo: l'idea è quella corretta ma è scritto male a mio parere. Cioè dipende anche un po' da quale è il livello di rigore che vuoi dare alle tue dimostrazioni. Formalmente dovresti fare così:
Supponiamo \( \{ x_n \} \subset (X, \|\cdot \|) \) sia di Cauchy. Vogliamo dimostrare che è di Cauchy anche in \( (X, \|\cdot\|_0 ) \). Sia \( \epsilon>0 \) fissato. Per definizione di successione di Cauchy in \( (X, \|\cdot \|) \) , esiste un \(N \in \mathbb{N} \) tale che \( \|x_n -x_m \| < a \epsilon \) per ogni \( n, m > N \) (Cioè ho scelto l'epsilon della definizione di Cauchy in \( (X, \|\cdot \|) \) pari a \( a \epsilon \) ).
Dunque, siccome dalla disuguaglianza delle norme hai che \( \epsilon > \|x_n-x_m\| /a \ge \|x_n-x_m \|_0 \), hai dimostrato che se \( n, m > N \) allora \( \|x_n-x_m \|_0 < \epsilon \) ovvero che \( \{ x_n \} \) è di Cauchy in \( (X, \|\cdot\|_0 ) \).
Idem per il viceversa.