Re: Esercizi su spazi normati.

Messaggioda Bremen000 » 18/09/2018, 17:41

Il terzo: l'idea è quella corretta ma è scritto male a mio parere. Cioè dipende anche un po' da quale è il livello di rigore che vuoi dare alle tue dimostrazioni. Formalmente dovresti fare così:

Supponiamo \( \{ x_n \} \subset (X, \|\cdot \|) \) sia di Cauchy. Vogliamo dimostrare che è di Cauchy anche in \( (X, \|\cdot\|_0 ) \). Sia \( \epsilon>0 \) fissato. Per definizione di successione di Cauchy in \( (X, \|\cdot \|) \) , esiste un \(N \in \mathbb{N} \) tale che \( \|x_n -x_m \| < a \epsilon \) per ogni \( n, m > N \) (Cioè ho scelto l'epsilon della definizione di Cauchy in \( (X, \|\cdot \|) \) pari a \( a \epsilon \) ).
Dunque, siccome dalla disuguaglianza delle norme hai che \( \epsilon > \|x_n-x_m\| /a \ge \|x_n-x_m \|_0 \), hai dimostrato che se \( n, m > N \) allora \( \|x_n-x_m \|_0 < \epsilon \) ovvero che \( \{ x_n \} \) è di Cauchy in \( (X, \|\cdot\|_0 ) \).

Idem per il viceversa.
Ultima modifica di Bremen000 il 18/09/2018, 19:55, modificato 1 volta in totale.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 920 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Esercizi su spazi normati.

Messaggioda Bremen000 » 18/09/2018, 17:49

Anche nel quattro l'idea è quella giusta ma non è scritto bene. Cerca di scrivere bene cosa stai usando e come e da dove a dove vanno gli indici nelle sommatorie.

Nota: la prima cosa che scrivi, cioè che \( \biggl \| \sum_n x_n \biggr \| \le \sum_n \|x_n\| \) non ha significato se non sai che la serie converge nello spazio di Banach. Mettiamo che sai che converge, come si dimostra allora? Di certo non dicendo "disuguaglianza triangolare" perché quella vale per somme finite (qualsiasi cosa voglia dire somma infinita).

Nota 2: vale anche l’inverso, se ti interessa.
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 921 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Messaggioda Lèo » 19/09/2018, 13:00

Ok, provo a riscrivere il tutto in modo migliore.

Lèo di nuovo ha scritto:
Sia \(\displaystyle x_n \) una successione nello spazio \(\displaystyle \mathcal{B} \) di Banach tale che la serie associata converga assolutamente. Data la catena di disuguaglianze: \[\displaystyle \left\|\sum_{n=1}^{m} x_n\right\|\le\sum_{n=1}^{m}\|x_n\|\le\sum_{n=1}^{\infty}\left\| x_n\right\| \ \Rightarrow \ \left\|\sum_{n=1}^{m} x_n\right\|\le\sum_{n=1}^{\infty}\left\| x_n\right\| \] nel limite \(\displaystyle n\to\infty \) la continuità della funzione norma garantisce la validità della relazione \( \| \sum_n^{\infty} x_n \| \le \sum_n^{\infty} \|x_n\| \)1.

Occorre dunque mostrare che la convergenza di \(\sum_n^{\infty} \|x_n\| \) implica \(\sum_n^{\infty} x_n<\infty \). In virtù della completezza di \(\displaystyle \mathcal{B} \), questo si riduce a dimostrare che la serie soddisfi il criterio di Cauchy. Fissato opportunamente \(\displaystyle N_0\in\mathbb{N} \), si ha \(\displaystyle \forall\epsilon>0 \) \[\forall N\ge N_0,M\in\mathbb{N}\qquad\left\Vert\sum_{n=N}^{N+M}x_n\right\Vert\le\sum_{n=N}^{N+M}\Vert x_n\Vert<\epsilon, \] dove l'ultima maggiorazione è data dal fatto che la serie delle norme rispetta certamente il criterio di Cauchy.


Note

  1. In genere chiamo anche questa disuguaglianza triangolare. E' sbagliato? Comunque è una dimostrazione sportiva perché mi sono reso conto che in realtà non ne ho davvero bisogno :P
Lèo
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 71 di 220
Iscritto il: 24/07/2018, 13:50

Re: Esercizi su spazi normati.

Messaggioda Bremen000 » 19/09/2018, 13:42

Per la prima parte: perfetto.
Per la seconda, continuo a farti le pulci, spero non lo interpreterai come eccessiva pedanteria:

Hai scritto male cosa vuol dire che una successione é di Cauchy. Non fissi $N$ e poi per ogni \( \epsilon \) ecc... ma il contrario. Quindi, fissa \( \epsilon >0 \) allora certamente esiste un \( N \in \mathbb{N} \) tale che per ogni \(M \in \mathbb{N} \) si ha \[ \sum_{n=1}^{N+M} \|x_n\| - \sum_{n=1}^{N} \|x_n\| = \sum_{n=N+1}^{N+M} \|x_n\| < \epsilon \]
poiché la successione delle somme parziali delle norme è di Cauchy in \( \mathbb{R} \).

Ma allora per il medesimo $N$ e per ogni \( M \in \mathbb{N} \) si ha

\[ \Biggl \| \sum_{n=1}^{N+M} x_n - \sum_{n=1}^N x_n \Biggr \| = \Biggl \| \sum_{n=N+1}^{N+M} x_n \Biggr \| \le \sum_{n=N+1}^{N+M} \|x_n\| < \epsilon \]

cioè che \( \bigl \{ \sum_{k=1}^n x_k \bigr \}_{n \in \mathbb{N}} \) è di Cauchy in \( \mathcal{B} \) ergo converge.

Come al solito comunque si vede che hai capito quale fosse l'idea della dimostrazione.

Posso chiederti cosa studi?
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 925 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Esercizi su spazi normati.

Messaggioda Lèo » 19/09/2018, 15:49

Ok, grazie mille. Ci mancherebbe, scrivo sul forum apposta per farmi fare le pulci. Comunque, studio fisica.
Lèo
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 72 di 220
Iscritto il: 24/07/2018, 13:50

Re: Esercizi su spazi normati.

Messaggioda Bremen000 » 19/09/2018, 15:53

Be' allora hai tutto il mio apprezzamento per come stai approfondendo questi argomenti!
"Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi." (Hilbert)
Bremen000
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 927 di 2648
Iscritto il: 08/09/2015, 11:16

Re: Esercizi su spazi normati.

Messaggioda Lèo » 19/09/2018, 16:46

Grazie! Spero solo di migliorare, piano piano :-D
Lèo
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 74 di 220
Iscritto il: 24/07/2018, 13:50

Precedente

Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite