Trasformata Z - Esercizio

Messaggioda lukixx » 17/09/2018, 10:55

salve a tutti, dato il seguente esercizio
"determinare la successione definita per ricorrenza della legge
$ { ( x(n+1)-x(n) = a_n ;n>=0),( x(0)=0 ):} $
con
$ a_n={ ( -1;n=0),( cos(npi);n>0 ):} $ "

il procedimento è sempre standard: Z-trasformata di entrambi i membri, isolo quella della successione $ x(n) $ trovandomi un'espressione in funzione di $ zinC $ e di questa faccio la Z-antitrasformata.

il problema è che non riesco a calcolare la Z-trasformata di $ a_n $, o meglio mi trovo espressioni diverse a seconda di come posso vedere la successione:
1) $ a_n=cos(npi)*u(n-1)-delta(n)->Z[a_n](z)=1/(z+1) -1 $ (sfruttando le proprietà di linearità, di traslazione e di prodotto per $ cos(nphi) $, e ammesso che non abbia commesso errori nel calcolo della $ Z[delta(n)] = 1 $)
2) $ a_n=cos(npi)*u(n)-2delta(n)->Z[a_n](z)=z/(z+1) -2 $
al risultato 2) pervengo anche applicando la definizione di Z-trasformata (unilatera perchè siamo nel caso n>=0) quindi credo sia il più corretto, ma poi terminato ciò, in entrambi i punti 1) e 2) mi risulta la stessa Z-antitrasformata risolutiva sbagliata.
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Re: Trasformata Z - Esercizio

Messaggioda Quinzio » 18/09/2018, 19:33

L'errore che fai e' di considerare questa
A $ cos(npi)*u(n-1) $
come questa
B $ cos(npi)*u(n) $
ritardata di 1 campione.

Se ci pensi non e' cosi'.
B ritardata di 1 e':
0 1 -1 1 -1

mentre A e'

0 -1 1 -1 1
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Re: Trasformata Z - Esercizio

Messaggioda lukixx » 19/09/2018, 19:35

infatti non ho mica detto siano la stessa cosa!
sono invece uguali le due versioni di $ a_n $ che ho proposto:
$ cos(npi)*u(n-1) = cos(n)*u(n) $ per $ n>=1 $ , l'unica differenza delle due versioni che proponi tu è in $ n = 0 $, $ 0 $ per il caso A e $ 1 $ per il caso B.
nel mio esercizio $ a_n $ è praticamente un $ cos(npi)*u(n) $ che però in $ n=0 $ vale $ -1 $, pertanto sono importanti le $ delta(n) $ nelle espressioni di $ a_n $ che ho riportato.

inoltre non sono d'accordo su quello che scrivi: non è vero che A sia la versione ritardata di B di 1 campione, questo è vero solo per $ u(n-1) $ rispetto a $ u(n) $. In realtà A e B che riporti sono uguali per $ n>=1 $ e diverse solo in $ n=0 $, in particolare nulla la versione A e unitaria la versione B (non ho considerato a priori n<0 perchè tutto nullo da traccia)
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Re: Trasformata Z - Esercizio

Messaggioda Quinzio » 19/09/2018, 20:31

Riassumiamo:
A non e' uguale a B ritardata di un campione.
Ok.
Quando però trasformi A ($ZZ(A)$), la poni come $ZZ(B)$ ritardata di 1.
E' questo che non va.
Ovvero quando scrivi...
$ ZZ(A) = 1/(z+1) $
$ ZZ(B) = z/(z+1) $
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Re: Trasformata Z - Esercizio

Messaggioda lukixx » 20/09/2018, 12:22

Quinzio ha scritto:Riassumiamo:
A non e' uguale a B ritardata di un campione.
Ok.
Quando però trasformi A ($ZZ(A)$), la poni come $ZZ(B)$ ritardata di 1.
E' questo che non va.
Ovvero quando scrivi...
$ ZZ(A) = 1/(z+1) $
$ ZZ(B) = z/(z+1) $


ho capito il mio errore, grazie, la prima versione di $ a_n $ che propongo è sbagliata, la seconda è quella giusta. Però calcolatami la Z-antitrasformata, la successione $ x(n) $ non rispetta l' equazione alle differenze, nè tantomeno la condizione iniziale $ x(0)=0 $
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