Lèo ha scritto:Ok, ammetto di essermi fidato di Delirium, ma non nego la mia colpa.
Comunque, rimane il dubbio di prima. Ad esempio, prendo \[\displaystyle y_k(n):=\begin{cases} 1/\sqrt{n} & n\le k, \\ 0 & n>k.\end{cases}\] che per \(\displaystyle k\to\infty \) converge a \(\displaystyle 1/\sqrt n \): il suo limite è fuori dal range, però dovrebbero esserlo anche le singole successioni per ogni $k$, o mi sbaglio?
Edit: no, mi sbaglio, perché basta prendere \(\displaystyle C=1/\sqrt k \)...
Va bene. Per ogni \(k\), la successione \(y_k\) è in \(R(T)\), tanto ha solo un numero finito di termini non nulli. Prendi \(C=10000k\), per dire. Non te ne importa di trovarne una ottimale. Devi dimostrare che \(\|y_k(n)- 1/\sqrt{n}\|_{\ell^\infty}\to 0\) per \(k\to \infty\), comunque è facile.