Il range di un operatore non è sempre chiuso.

[dissonance]

Ok, ammetto di essermi fidato di Delirium, ma non nego la mia colpa.
Comunque, rimane il dubbio di prima. Ad esempio, prendo \[\displaystyle y_k(n):=\begin{cases} 1/\sqrt{n} & n\le k, \\ 0 & n>k.\end{cases}\] che per \(\displaystyle k\to\infty \) converge a \(\displaystyle 1/\sqrt n \): il suo limite è fuori dal range, però dovrebbero esserlo anche le singole successioni per ogni $k$, o mi sbaglio?

Edit: no, mi sbaglio, perché basta prendere \(\displaystyle C=1/\sqrt k \)...

Va bene. Per ogni \(k\), la successione \(y_k\) è in \(R(T)\), tanto ha solo un numero finito di termini non nulli. Prendi \(C=10000k\), per dire. Non te ne importa di trovarne una ottimale. Devi dimostrare che \(\|y_k(n)- 1/\sqrt{n}\|_{\ell^\infty}\to 0\) per \(k\to \infty\), comunque è facile.

[Lèo]

Sì, avevo controllato così: \[ \|y_k(n)- 1/\sqrt{n}\|_{\ell^\infty}=\sup_k |y_k(n)-1/\sqrt n|=|-1/\sqrt n|\to 0, \quad n\to\infty.\] Dovremmo essere a posto? Allora aspetterò la soluzione di Delirium

[dissonance]

Ma no, su, che dici? Così facendo avresti dimostrato che \(y_k(n)=1/\sqrt{n}\). Fai più attenzione ai dettagli

[Lèo]

Ho modificato il post... a volte mi escono davvero delle stupidate pazzesche

[dissonance]

Il sup è su \(n\), non su \(k\).

[Lèo]

Ribadisco quanto sopra. Allora vediamo se stavolta ce la faccio: per ogni $k$, devo scartare \(\displaystyle n\le k \) perché altrimenti ottengo lo zero; per \(\displaystyle n>k \) ho una successione decrescente, quindi scelgo \(\displaystyle 1/\sqrt{k+1} \). E il limite è in \(\displaystyle k\to \infty \), non $n$...

[dissonance]

Adesso va bene.

[Lèo]

Grazie per l'aiuto, e la pazienza