comunque: \(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle f\ne 0 \) un funzionale definito su uno spazio vettoriale $X$ e \(\displaystyle x_0\in X\setminus\mathcal{N}_f \), dove \(\displaystyle \mathcal{N}_f \) è il nucleo di $f$. Allora \(\displaystyle x\in X \) può essere rappresentato unicamente come \(\displaystyle x=\alpha x_0+y \), con \(\displaystyle y\in\mathcal{N}_f \).
Prendo \(\displaystyle \alpha=fx/fx_0 \) e \(\displaystyle y:=x-\alpha x_0 \). In questo modo sicuramente \(\displaystyle y\in\mathcal{N}_f \), poiché \(\displaystyle fy=fx-fx=0 \), e \(\displaystyle x=\alpha x_0+y \). Suppongo ora che $x$ si possa rappresentare in questo modo con due scritture equivalenti: \(\displaystyle y'+\alpha' x_0=y+\alpha x_0 \). Siccome quindi \(\displaystyle y-y'=(\alpha'-\alpha)x_0 \), se fosse \(\displaystyle \alpha\ne\alpha' \) si avrebbe \[\displaystyle x_0=\frac{y-y'}{\alpha'-\alpha}\in\mathcal{N}_f, \] che contraddice l'ipotesi \(\displaystyle x_0\in \mathcal{N}'_f \).
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\(\displaystyle \bullet \) Due funzionali non nulli definiti sullo stesso spazio vettoriale e aventi lo stesso nucleo sono proporzionali.
Uso l'esercizio di prima per rappresentare il generico vettore \(\displaystyle x\in X \): \[\displaystyle x=\frac{f_1x}{f_1x_0}x_0+y \ \Rightarrow \ \displaystyle f_2x=\frac{f_2x_0}{f_1x_0}f_1x, \] siccome \(\displaystyle y\in\mathcal{N}_{f_1}=\mathcal{N}_{f_2} \).
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\(\displaystyle \bullet \) Calcolare la norma di \(f:C[-1,1]\to \mathbb{R} \), \(fx=\int_{-1}^0x(t) \ dt-\int_0^1 x(t) \ dt. \)
Questo esercizio proprio non riesco a farlo. Usando la definizione \[\displaystyle \Vert f\Vert=\sup_{x\in\mathcal{D}_f, x\ne 0} \frac{|fx|}{\Vert x\Vert}, \ \Vert x\Vert=\max_{[-1,1]}|x(t)|; \\ \Vert fx\Vert=\sup_{x\in\mathcal{D}_f, x\ne 0}\left\vert\int_{-1}^0 \frac{x(t)}{\max_{[-1,1]}|x(t)|} \ dt-\int_{0}^1 \frac{x(t)}{\max_{[-1,1]}|x(t)| \ dt}\right\vert. \] Purtroppo non saprei come proseguire, non sapendo come valutare gli integrali... mi serve un aiuto!
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\(\displaystyle \bullet \) Se $X$ è uno spazio vettoriale, \(\displaystyle Y\subset X \) e \(\displaystyle f:X\to \mathbb{K} \) un funzionale tale che \(\displaystyle fY\ne \mathbb{K} \), allora \(\displaystyle fy=0 \) per ogni \(\displaystyle y\in Y \).
Si supponga per assurdo \(\displaystyle fy_0=k \) per qualche \(\displaystyle y_0\in Y \). Scelto arbitrariamente lo scalare \(\displaystyle \alpha\in\mathbb{K}\) si avrebbe \[\displaystyle \alpha=\frac{\alpha}{k}fy_0=f\left(\frac{\alpha}{k}y_0\right)\in fY, \] contro l'ipotesi \(\displaystyle fY\ne \mathbb{K} \). Tutto ok?
