Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 20/09/2018, 11:41

Ciao a tutti.

\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle \mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert, \(\displaystyle M\subset \mathcal{H} \) un sottoinsieme convesso, e \(\displaystyle \{x_n\}\in M \) tale che \(\|x_n\|\to d=\inf_{x\in M}\Vert x\Vert \). Dimostrare che \(\displaystyle x_n \) converge in \(\displaystyle \mathcal{H} \).

Usando l'uguaglianza del parallelogrammo e la convessità di $M$, si ha: \[\displaystyle \Vert x_n-x_m\Vert^2=2\Vert x_n\Vert^2+2\Vert x_m\Vert^2-\Vert x_n+x_m\Vert^2= 4\left(\frac{1}{2}\Vert x_n\Vert^2+\frac{1}{2}\Vert x_m\Vert^2-\left\Vert \frac{x_n+x_m}{2}\right\Vert^2\right)= \ 4\left(\frac{1}{2}\Vert x_n\Vert^2+\frac{1}{2}\Vert x_m\Vert^2-\left\Vert {{\text{successione punti medi}}}\right\Vert^2\right)\to 2d^2+2d^2-4d^2=0, \] dunque $x_n$ è di Cauchy e pertanto convergente in \(\displaystyle \mathcal{H} \).
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\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle T:X\to X \) un operatore limitato su uno spazio prehilbertiano complesso $X$. Se per ogni \(\displaystyle z\in X \) si ha \(\displaystyle \langle Tz, z\rangle=0 \), allora \(\displaystyle T=0 \). Mostrare con un controesempio che questo è falso per $X$ reale.

Per la prima parte dell'esercizio: ponendo \(\displaystyle X\ni z=x+\alpha y \)1, si ha \[\displaystyle \langle Tx,x\rangle=\langle T(x+\alpha y),x+\alpha y\rangle=\alpha\langle Tx,y\rangle+\alpha^*\langle Ty,x\rangle; \]ponendo prima \(\displaystyle \alpha=1 \),poi \(\displaystyle \alpha=i \) segue necessariamente \(\displaystyle T=0 \). Per la seconda, considero la rotazione \(\displaystyle R_{\theta}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \), con \(\displaystyle \theta=\pi/2 \). Ovviamente \(\displaystyle \langle Tx,x\rangle=0 \) per ogni \(\displaystyle x\in X \), tuttavia \(\displaystyle T\ne 0 \). Insomma, per far uscire il teorema è fondamentale la sesquilinearità del prodotto scalare...
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\(\displaystyle \bullet \) \(M=\{y=\{\eta_j\}:\sum_j^k \eta_j=1\}\subset \mathbb{C}^k \) è completo e convesso; determinare il vettore con norma minima in $M$.

Sia $y_n in M$ una successione di vettori di \(\displaystyle \mathbb{C}^n \). Forse è una stupidata quella che sto per dire, ma ci provo. La condizione data su $M$ è "costante", cioè per ogni indice $n$ vale \(\sum\eta^{(n)}_j=1 \). Quindi almeno intuitivamente il sottoinsieme deve essere chiuso (e quindi completo) perché ciò vale sicuramente anche per il limite $y$ della successione... spiegandomi meglio, la somma dei $k$ elementi nella prima posizione deve essere $1$, la somma di quelli nella seconda deve essere ancora $1$, e così via all'infinito. So che non è molto rigoroso...

Note

  1. Questo non mi sarebbe venuto in mente, è un suggerimento del testo... ma non capisco perché sia lecito farlo!
Ultima modifica di Lèo il 20/09/2018, 16:42, modificato 2 volte in totale.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 20/09/2018, 15:37

Scusa un attimo. Punto 1. Ti stai chiedendo se \(M\) è **chiuso** oppure no, non completo. Questa è una buona domanda, ma non te ne importa niente, tu devi solo mostrare che l'inf è raggiunto, non ti si chiede di dimostrare che sia raggiunto su \(M\).

Inoltre, se non hai usato la convessità, allora staresti dimostrando che tutte le successioni \(x_n\) la cui norma \(\|x_n\|\) è una successione convergente sono esse stesse successioni convergenti. E questa chiaramente è una cavolata.

Quindi rivedi bene quella dimostrazione e vedi di usare la convessità. Fai apparire il punto medio di \(x_n, x_m\). E cancella quella cosa che hai scritto, non si può proprio guardare :-) (dove va a finire il quadrato al membro sinistro?).

(Quanto a "l'ipotesi di convessità è davvero necessaria"? Se vuoi un esempio interessante, considera la successione \(e_n=(0,0,\ldots, 0,1,0,\ldots)\) nello spazio \(\ell^2\), e considera l'insieme \(M=\{e_n\ :\ n\in\mathbb N\}\)).
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 20/09/2018, 16:39

Ah, ora ho capito (credo). Ho modificato il post :P non so perché prima $x_n$ e $x_m$ si sono trasformati in $x$ e $y$...
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 20/09/2018, 16:50

Oooh, adesso si.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 21/09/2018, 12:54

Comunque, il secondo esercizio va bene, il terzo invece non si capisce molto, neanche la traccia. Se \(\eta_j\) sono vettori di numeri complessi, cosa significa che la loro somma vale \(1\)?

Ah forse ho capito. Vuoi dire che la somma delle componenti vale uno. In pratica è il sottospazio affine individuato dall'equazione
\[
\eta_1 + \eta_2 +\dots + \eta_k=1, \]
dove \((\eta_1, \eta_2,\ldots, \eta_k)\in \mathbb C^k\). Il fatto che questo insieme sia convesso e chiuso è praticamente ovvio, la cosa interessante secondo me è determinare l'elemento o gli elementi di norma minima.

Questo è praticamente un esercizio di geometria, ma lo puoi vedere pure come un esercizio di ottimizzazione (ricerca di massimi e minimi). O imponi l'ortogonalità oppure calcoli qualche derivata.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 21/09/2018, 14:58

Mi piacerebbe provare l'approccio di ottimizzazione, ma ho bisogno di una mano. In pratica, c'è da derivare la funzione norma \(\displaystyle g(\mathbf{x})=\Vert \mathbf{x}\Vert:\mathbb{C}^k\to\mathbb{R}^+ \) rispetto ad ogni possibile vettore \(\displaystyle \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_k)\in\mathbb{C}^k \) tale che \(\sum_i^k x_i=1\). Cioè, devo porre \(\displaystyle \nabla g(\mathbf{x})=0 \) e vedere cosa succede.

Tuttavia ho difficoltà a calcolare l'ennesima derivata \[\partial_n g(\mathbf{x})=\partial_n\left(\sum_i^k|x_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}, \] o almeno, mi viene un risultato assurdo, quindi penso ci sia qualcosa che non vada nell'impostazione...
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 21/09/2018, 15:41

No, no e no. Devi essere MOLTO più preciso, a volte le spari letteralmente.

Comincia a risolvere il modello giocattolo in \(\mathbb R^2\): trova il punto di minima distanza dall'origine nell'insieme
\[
A:= \left\{ (x, y)\in \mathbb R^2\ :\ x+y=1\right\}.\]
La distanza dall'origine al quadrato è la funzione \(f(x, y)=x^2+y^2\); chiaramente è equivalente minimizzare questa o la sua radice quadrata, e quindi prendiamo questa per semplificare i conti.

La minimizzazione va fatta su \(A\), non su tutto \(\mathbb R^2\), quindi non dobbiamo calcolare \(\nabla f\), ma risolvere il problema di moltiplicatori di Lagrange \(\nabla f(x, y)=\mu \nabla g(x, y)\), dove \(g(x, y)=x+y-1\). Questo ti dà i punti critici del problema vincolato e se ce n'è più d'uno devi trovare il minimo.

Questo è un modo, ma ce ne sono altri. Vedi un po' se ti convince
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 21/09/2018, 16:33

Ah giusto, ovviamente non posso comportarmi come se dovessi ottimizzare su un aperto... :(
Nel caso giocattolo dovrebbe esserci un minimo nel punto \(\displaystyle (1/2,1/2) \), dove \(\displaystyle f(x,y)=1/\sqrt 2 \). Tornando al caso generale, lasciando perdere per ora la radice quadrata devo quindi risolvere \[\displaystyle \nabla\left(\sum_{i=1}|x_i|^2\right)=\mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k x_i-1\right). \] Scomponendo, si ha \(\displaystyle \forall n \) l'uguaglianza seguente: \[\displaystyle \partial_n\left(\sum_{i=1}|x_i|^2\right)=2x_n=\mu=\partial_n\left(\sum_{i=1}^k x_i-1\right), \\ \Rightarrow x_n=\frac{\mu}{2}; \] quindi siccome dal vincolo \(\sum_i^k x_i-1=0 \) otteniamo \(k\mu/2=1 \), si ha \(\displaystyle \mu=2/k \) e \(\displaystyle x_i=1/k, \ \forall i=1,...,k \).
Reinstaurando la radice quadrata, il vettore che minimizza la norma è dunque \[\displaystyle \mathbf{x}=\left(\frac{1}{{k}},\frac{1}{{k}},\frac{1}{{k}},...\right). \]
Ultima modifica di Lèo il 22/09/2018, 10:54, modificato 1 volta in totale.
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda dissonance » 21/09/2018, 21:59

ATTENZIONE! Stai facendo tutto su \(\mathbb R^k\), comunque va bene per capire, poi vediamo il caso complesso.

Nota che il tuo post è auto-contraddittorio: in \(\mathbb R^2\) trovi come minimizzante \((1/2, 1/2)\) mentre in \(\mathbb R^k\) trovi \((1/\sqrt k, 1/\sqrt k,\ldots ,1/\sqrt k)\), che per \(k=2\) diventa \((1/\sqrt 2, 1/\sqrt2)\). Mettiti d'accordo con te stesso su quale sia la risposta corretta. :-)

Non ti imbranare con le radici quadrate. Chiaramente è lo stesso minimizzare \(\|\mathbf x\|\) o \(\|\mathbf x \|^2\), nel senso che i minimizzanti sono gli stessi...
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Re: Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Messaggioda Lèo » 22/09/2018, 10:56

Sono consapevole di star lavorando in \(\displaystyle \mathbb{R}^k \), mentre vabbè ho fatto un po' la solita confusione tra i punti di minimo e il valore della norma (giuro che buona parte viene dalla trascrizione foglio-forum :-D )... ho modificato.
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