\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle \mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert, \(\displaystyle M\subset \mathcal{H} \) un sottoinsieme convesso, e \(\displaystyle \{x_n\}\in M \) tale che \(\|x_n\|\to d=\inf_{x\in M}\Vert x\Vert \). Dimostrare che \(\displaystyle x_n \) converge in \(\displaystyle \mathcal{H} \).
Usando l'uguaglianza del parallelogrammo e la convessità di $M$, si ha: \[\displaystyle \Vert x_n-x_m\Vert^2=2\Vert x_n\Vert^2+2\Vert x_m\Vert^2-\Vert x_n+x_m\Vert^2= 4\left(\frac{1}{2}\Vert x_n\Vert^2+\frac{1}{2}\Vert x_m\Vert^2-\left\Vert \frac{x_n+x_m}{2}\right\Vert^2\right)= \ 4\left(\frac{1}{2}\Vert x_n\Vert^2+\frac{1}{2}\Vert x_m\Vert^2-\left\Vert {{\text{successione punti medi}}}\right\Vert^2\right)\to 2d^2+2d^2-4d^2=0, \] dunque $x_n$ è di Cauchy e pertanto convergente in \(\displaystyle \mathcal{H} \).
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\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle T:X\to X \) un operatore limitato su uno spazio prehilbertiano complesso $X$. Se per ogni \(\displaystyle z\in X \) si ha \(\displaystyle \langle Tz, z\rangle=0 \), allora \(\displaystyle T=0 \). Mostrare con un controesempio che questo è falso per $X$ reale.
Per la prima parte dell'esercizio: ponendo \(\displaystyle X\ni z=x+\alpha y \)1, si ha \[\displaystyle \langle Tx,x\rangle=\langle T(x+\alpha y),x+\alpha y\rangle=\alpha\langle Tx,y\rangle+\alpha^*\langle Ty,x\rangle; \]ponendo prima \(\displaystyle \alpha=1 \),poi \(\displaystyle \alpha=i \) segue necessariamente \(\displaystyle T=0 \). Per la seconda, considero la rotazione \(\displaystyle R_{\theta}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 \), con \(\displaystyle \theta=\pi/2 \). Ovviamente \(\displaystyle \langle Tx,x\rangle=0 \) per ogni \(\displaystyle x\in X \), tuttavia \(\displaystyle T\ne 0 \). Insomma, per far uscire il teorema è fondamentale la sesquilinearità del prodotto scalare...
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\(\displaystyle \bullet \) \(M=\{y=\{\eta_j\}:\sum_j^k \eta_j=1\}\subset \mathbb{C}^k \) è completo e convesso; determinare il vettore con norma minima in $M$.
Sia $y_n in M$ una successione di vettori di \(\displaystyle \mathbb{C}^n \). Forse è una stupidata quella che sto per dire, ma ci provo. La condizione data su $M$ è "costante", cioè per ogni indice $n$ vale \(\sum\eta^{(n)}_j=1 \). Quindi almeno intuitivamente il sottoinsieme deve essere chiuso (e quindi completo) perché ciò vale sicuramente anche per il limite $y$ della successione... spiegandomi meglio, la somma dei $k$ elementi nella prima posizione deve essere $1$, la somma di quelli nella seconda deve essere ancora $1$, e così via all'infinito. So che non è molto rigoroso...
- Questo non mi sarebbe venuto in mente, è un suggerimento del testo... ma non capisco perché sia lecito farlo! ↑