da Lèo » 24/09/2018, 12:21
No, certo, ho dimenticato la condizione sulle \(\displaystyle y_i \)... comunque ricapitoliamo un attimo che questa cosa dei moltiplicatori nello spazio complesso la voglio capire per bene.
Il mio dubbio sta nel capire quando separare le componenti reali e quelle immaginarie. In pratica bisogna considerare separatamente i due vettori \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y} \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^k \) e usare il metodo per ciascuno di questi, con i vincoli rispettivi? In questo caso, \(\displaystyle \mu=\mu_1+i\mu_2 \) va trattato come un numero complesso, no? E nel primo caso ne considero la parte reale, nel secondo quella immaginaria.
Quindi, \(\displaystyle \mathbf{x} \) ha il moltiplicatore \(\displaystyle \mu_1 \) e il vincolo \(g_1=\Re\sum^k z_i=\sum^k x_i=1 \), mentre \(\mathbf{y} \) ha il moltiplicatore \(\displaystyle \mu_2 \) e il vincolo \(g_2=\Im\sum^k z_i=\sum^k y_i=0 \). Quello che è in comune è ovviamente la funzione norma $f$. Quindi considero due funzioni lagrangiane distinte, \(\mathcal{L}_1=f-\mu_1g_1 \) e \(\displaystyle \mathcal{L}_2=f-\mu_2g_2 \), e ne faccio i gradienti rispettivamente rispetto alle componenti $x_i$ e a quelle \(\displaystyle y_i \), per ottenere in totale \(\displaystyle 2k+2 \) equazioni.
E' il procedimento corretto?