Esercizi sugli spazi di Hilbert.

Stavo pensando a cosa cambia nel passaggio a \(\displaystyle \mathbb{C}^k\). Per quanto sia poco ferrato in analisi complessa, mi sembra ci sia questo ostacolo: la funzione modulo è olomorfa solo nell'origine. Quindi mi crea disagio il passaggio \( \nabla\left(\sum_{i=1}|z_i|^2\right) \). Come lo sbrigo?

Lo sbrighi facendo attenzione a quello che fai: le derivate qui sono reali, come tu stesso hai sottolineato. Infatti, se ci fai caso, il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è un metodo reale. Quindi la prima cosa da fare è riscrivere tutto in termini di parte reale e parte immaginaria (\(z_i=x_i+iy_i\)), mettendosi in \(\mathbb R^{2k}\).

Allora dato \(\displaystyle \mathbf{z}=\mathbf{x}+i\mathbf{y} \) provo così: \[ \displaystyle \nabla\left(\sum_{i=1}|z_i|^2\right)= \mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k (x_i^2+y_i^2)\right)=\mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k ((x_i-1)+iy_i)\right)=\mu\nabla\left(\sum_{i=1}^k z_i-1\right), \] di cui considero prima la parte reale, poi la parte immaginaria. Facendo le derivate rispetto a $x_n$ mi riconduco al caso reale; facendo le derivate rispetto a $y_n$ ottengo invece \[\displaystyle y_n=\frac{\mu k}{2}=1. \] Quindi non essendoci nessuna condizione sulle \(\displaystyle y_i \) l'ennesima componente di \(\displaystyle \mathbf{z} \) si scrive \(\displaystyle x_n+iy_n=\frac{1}{k}+i \), ovvero \[\displaystyle \mathbf{z}=\left(\frac{1}{k}+i,\frac{1}{k}+i,\frac{1}{k}+i,...\right). \] E questo dovrebbe essere (finalmente) il vettore che minimizza la norma in $mathbb(C)^k$.

Peccato che quel vettore non appartiene al tuo insieme. Hai provato a calcolare la somma delle sue componenti? Fa forse 1?

No, certo, ho dimenticato la condizione sulle \(\displaystyle y_i \)... comunque ricapitoliamo un attimo che questa cosa dei moltiplicatori nello spazio complesso la voglio capire per bene.

Il mio dubbio sta nel capire quando separare le componenti reali e quelle immaginarie. In pratica bisogna considerare separatamente i due vettori \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y} \) in \(\displaystyle \mathbb{R}^k \) e usare il metodo per ciascuno di questi, con i vincoli rispettivi? In questo caso, \(\displaystyle \mu=\mu_1+i\mu_2 \) va trattato come un numero complesso, no? E nel primo caso ne considero la parte reale, nel secondo quella immaginaria.

Quindi, \(\displaystyle \mathbf{x} \) ha il moltiplicatore \(\displaystyle \mu_1 \) e il vincolo \(g_1=\Re\sum^k z_i=\sum^k x_i=1 \), mentre \(\mathbf{y} \) ha il moltiplicatore \(\displaystyle \mu_2 \) e il vincolo \(g_2=\Im\sum^k z_i=\sum^k y_i=0 \). Quello che è in comune è ovviamente la funzione norma $f$. Quindi considero due funzioni lagrangiane distinte, \(\mathcal{L}_1=f-\mu_1g_1 \) e \(\displaystyle \mathcal{L}_2=f-\mu_2g_2 \), e ne faccio i gradienti rispettivamente rispetto alle componenti $x_i$ e a quelle \(\displaystyle y_i \), per ottenere in totale \(\displaystyle 2k+2 \) equazioni.

E' il procedimento corretto?

Si, mi pare tu abbia ragione, i vincoli sono due e ci vogliono due moltiplicatori.

Va bene, quindi per \(\displaystyle \mathbf{x} \) il procedimento è identico a quello dell'altro post, mentre per \(\displaystyle \mathbf{y} \) la differenza è che essendo \(\displaystyle \mu_2=0 \) anche \(\displaystyle y_i=0 \) per ogni $i$. Quindi in realtà anche il risultato nel caso complesso è identico a quello reale... mi sto sbagliando ancora?

E perché ti sorprende? Se aggiungi una parte immaginaria ai vettori del tuo insieme convesso, la norma aumenta. Ecco perché quando minimizzi trovi lo stesso risultato che nel caso reale.

Se la metti giù così la rendi imbarazzantemente ovvia diciamo che lo trovo comunque un po' anticlimatico.

lo trovo comunque un po' anticlimatico.

Comunque, l'esercizio è finito: