\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle H\in\mathcal{D}^*(\mathbb{R}^1) \) la distribuzione data dalla funzione di Heaviside, \[\displaystyle H(x)=\begin{cases} 1 & x>0, \\ 0 & x\le 0.\end{cases} \] Se \(\displaystyle h_n(x) \) è una successione di funzioni tale che \(\int h_n(x)\varphi(x) \ dx\to \langle H,\varphi\rangle \) per \(\displaystyle n\to\infty \) per ogni \(\displaystyle \varphi\in\mathcal{D} \), allora \(\int h'_n(x)\varphi(x) \ dx\to\langle\delta,\varphi\rangle.\)
Allora, integrando per parti e ricordando \(\displaystyle \varphi(\infty)\to 0 \) si ha: \[\displaystyle \lim_n\int h'_n(x)\varphi(x) \ dx=-\lim_n\int h_n(x)\varphi'(x) \ dx=-\langle H,\varphi'\rangle=\int_0^\infty \varphi'(x) \ dx=\varphi(0)-\varphi(\infty)=\varphi(0)=\\=\langle\delta,\varphi\rangle. \] Mi si chiede anche se cambia qualcosa ponendo \(\displaystyle H(x)=1 \) nell'origine. Non credo? Dopotutto le due funzioni sarebbero uguali quasi ovunque, quindi integrando secondo Lebesgue il risultato dovrebbe essere lo stesso....
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\(\displaystyle \bullet \)Sia \(\displaystyle f_n \) la distribuzione \(\displaystyle \langle f_n,\varphi\rangle=n(\varphi(1/n)-\varphi(-1/n) \). Cos'è \(\displaystyle \lim_n f_n \)?
Per questo esercizio ho un'idea ma non so bene come renderla formale. Chiaramente per \(\displaystyle n\to\infty \), \(\displaystyle \varphi(1/n)\to\varphi(0^+) \), mentre \(\displaystyle \varphi(-1/n)\to\varphi(0^-) \). Quindi la loro differenza è in un intorno piccolo a piacere dell'origine. Qualunque valore abbia la funzione test in quel punto, moltiplicarlo per $n$ garantisce che venga sparato all'infinito1. Dunque il risultato dovrebbe essere \(\displaystyle \langle\delta,\varphi\rangle \). Può avere senso tutto questo o è solo aria fritta?
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\(\displaystyle \bullet \) Sia per ogni \(\displaystyle a>0 \): dimostrare che \[\displaystyle \langle f_a,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^{-a} \frac{\varphi(x)}{|x|} \ dx+\int_{a}^{\infty} \frac{\varphi(x)}{|x|} \ dx+ \int_{-a}^a\frac{\varphi(x)-\varphi(0)}{|x|} \ dx \] è una distribuzione. Se non sbaglio, in pratica il problema è far vedere che questi integrali sono convergenti. I primi due non hanno grossi problemi: è il terzo che ha una singolarità in un intorno dell'origine. Ma per \(\displaystyle x\to 0 \) l'integranda è la derivata di \(\displaystyle \varphi \), e vale \(\displaystyle \varphi'(0) \) (l'esistenza è garantita dal fatto che \(\displaystyle \varphi\in\mathcal{C}^\infty \)).
Quindi, ho una mezza idea di usare in qualche modo il teorema della media, ma non sono sicuro su come fare. Qualcuno ha un suggerimento?
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In generale, esistono dei criteri per stabilire subito se un certo operatore su un insieme di funzioni test sia o meno una distribuzione? Ad esempio, in un altro esercizio mi si chiede di mostrare che \(\displaystyle \langle f,\varphi\rangle=\varphi(0)^2 \) non definisce una distribuzione. Premesso che non sono sicuro di come siano definite le moltiplicazioni di distribuzioni, mi sembra che non sia soddisfatta la linearità: \[\displaystyle \langle \delta^2,\alpha\varphi\rangle=\alpha^2\varphi(0)^2\ne \alpha\varphi(0)^2=\alpha\langle \delta^2,\varphi\rangle \] Però cercando informazioni su \(\displaystyle \delta^2 \) ho trovato giustificazioni più impegnative (non da primo capitolo di un libro facile sulle distribuzioni), che mi fanno dubitare della correttezza della mia...
- A meno che \(\displaystyle \varphi(0)=0 \), nel qual caso dovrebbe essere \(\displaystyle f\equiv 0 \)... ↑
