Problema con nucleo di un operatore

Messaggioda Gustav Wittgenstein » 21/09/2018, 23:18

Salve, dovrei trovare il kernel di questo operatore: \(H=F+F^\dagger\) in $ L^2(mathbb{R}) $, dove $F$ è l'operatore di Fourier-Plancherel.

So di dover trovare gli $f$ tali che $Hf=0$, e se non vado errato $ Hf=sum^infty (-i)^n(h_n|f)h_n+sum^infty i^n(f|h_n)h_n$ ma non sono capace di fare niente di concreto. Qualcuno potrebbe indirizzarmi sulla strada giusta?
Gustav Wittgenstein
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Re: Problema con nucleo di un operatore

Messaggioda dissonance » 23/09/2018, 09:56

L' "operatore di Fourier-Plancherel" sarebbe la trasformata di Fourier? E che sono le funzioni \(h_n\)?

Secondo me è molto più semplice. Se \(Rf(x):=f(-x)\) allora \(F^\dagger=FR\) e quindi
\[
(F+F^\dagger)f= F(I+R)f = 0\quad \iff\quad (I+R)f=0\]
e questo succede se e solo se \(f(x)=-f(-x)\).
dissonance
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