(In)Completezza di C[a,b] per norma

[lukixx]

salve ragazzi, siccome da programma studiamo solo dei "cenni" sugli spazi di banach e hilbert, molte cose sono trascurate o spiegate non dettagliatamente, di conseguenza mi vengono dei dubbi:

la prof ci ha fornito l'esempio dello spazio vettoriale di funzioni continue in un compatto $( C^0 [a,b] ) $ , per semplicità funzioni reali ma il discorso si estende a quelle complesse, di dimensione infinita dunque le norme definibili per questo spazio NON sono equivalenti e infatti lo stesso spazio con norma uniforme $ ( || f ||_(oo) = max_(x in[a,b])|f| ) $ è completo, mentre con norma L-1 $ ( || f ||_(L^1) = int_(a)^(b) |f|dx ) $ non è completo.

norma L-1)
è definibile la successione di funzioni continue
$ f_n(x)={ ( -1;x in [-1,-1/n) ),( nx;|x|<=1/n ),( 1;x in (1/n,1] ):} $ che converge puntualmente alla funzione $ sign(t) !in C^0[a,b] $.
Si ha poi $ lim_(n)||f_n(x) - sign(x)|| = lim_(n) int_(-1)^(1) |f_n(x)-sign(x)|dx = lim_(n)1/n=0 $, quindi $ f_n -> sign $ in norma L-1.
Inoltre vale
$ ||f_n(x) - f_k(x)||<= ||f_n(x) - sign(x)||+||f_k(x) - sign(x)||<= 1/n + 1/k $ quindi $ f_n $ è di cauchy in norma L-1 (avrei potuto affermare ciò anche più semplicemente come implicazione del fatto che $ f_n $ converge? )
Dimostriamo che non esiste alcuna funzione $ ginC^0[a,b] $ tale che ||f_n(x) - g(x)||->0:
Per Assurdo $ EE g:||f_n(x) - g(x)||->0 $ allora si avrebbe
$ 0<=||sign(x) - g(x)||<= ||sign(x)-f_n(x)|| + ||f_n(x) - g(x)|| -> 0 $ quindi $ g $ (e questo è il passaggio che non ho compreso) non può essere continua in $ x = 0 $, assurdo.

norma uniforme)
in questo caso lo spazio delle funzioni continue è completo tuttavia non capisco una cosa: se $ f_n $ del caso precedente non converge ad una funzione continua ma alla funzione signum, perchè lo spazio questa volta è completo?

[Delirium]

[...]

norma uniforme)
in questo caso lo spazio delle funzioni continue è completo tuttavia non capisco una cosa: se $ f_n $ del caso precedente non converge ad una funzione continua ma alla funzione signum, perchè lo spazio questa volta è completo?

\( f_n\) non converge alla funzione segno in norma infinito. Fatti il "conto". O meglio, ancor prima: è di Cauchy?