Sapete mica darmi una mano su come determinare la derivata distribuzionale di una funzione \( f\in BV([a,b]) \) (a variazione limitata).
Il mio prof mi ha fatto un discorso che non ho capito. Forse perché ho un po' di lacune sulle funzioni BV.
Una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è limitata su $[a,b]$ e quindi sta in $l^1([a,b])$ e di conseguenza posso considerare l'immersione $j$ di $f$ nelle distribuzioni. Allora ha senso chiedersi chi è la sua derivata distribuzionale.
Per la decomposizione di Jordan una funzione \( f\in BV([a,b]) \) è tale che $f=g-h$ con $g,h$ debolmente crescenti.
Poi, però, è saltato alle funzioni NBV([a,b]) (BV normalizzate) dicendo che una qualunque \( f\in BV([a,b]) \) normalizzata si può scrivere come $f=k+l$ con \( l\in NBV([a,b]) \) e funzione $k$ funzione dei salti definita nel modo seguente
\( k(x)=\begin{cases} 0\quad se\ x\notin\{\frac{1}{n+1}:n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\} \\ k_n\quad se\ x\in\{\frac{1}{n+1}:n\in\mathbb{N}\}\cup\{0\} \\ k_\infty\quad se\ x=0 \end{cases} \)
Poi si è andato a calcolare \( j(l)'(\phi)=-j(l)(\phi')=-\displaystyle\int_{[a,b]} l \phi 'dx \) (immagino che $j(k)'(\phi)=-j(k)(\phi)=0$ perché faccio l'integrale su dei punti)
Ma poi ha detto che a $j(f)'=\mu$ dove \mu è una misura da cui \( j(f)'(\phi)=\mu(\phi)=\displaystyle\int_{[a,b]}\phi d\mu \)
Quindi la tesi è diventata \( -\displaystyle\int_{[a,b]} l \phi 'dx =\displaystyle\int_{[a,b]}\phi d\mu \quad\forall\phi\in D([a,b]) \) che si ottiene in qualche modo usando il teorema di Radon Nikodym e poi la formula di derivazione del prodotto.
Qualcuno potrebbe aiutarmi a capire il filo logico di questi passaggi per me un po' confusi? Grazie!
...ma perché ne so poco io. Potresti mica farmi capire come la derivata distribuzionale sia una misura e come tale misura associata sia definita? 