Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda gugo82 » 02/10/2018, 18:05

"$f in P_n$"? E come fa a decrescere rapidamente? O ad essere sommabile?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 19603 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda lukixx » 03/10/2018, 10:36

gugo82 ha scritto:"$f in P_n$"? E come fa a decrescere rapidamente? O ad essere sommabile?


già, scusami, per $P_n$ mi sono confuso con le f a crescenza lenta.

Approfitto della tua attenzione per chiederti se effettivamenre le implicazioni di cui parlavo nel messaggio precedente eccetto quella per $ P_n $, sussistano davvero perchè non avendone trovato dimostrazioni ho fatto da me e posso aver facilmente sbagliato qualcosa
lukixx
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 40 di 189
Iscritto il: 27/11/2015, 20:47

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda gugo82 » 03/10/2018, 14:46

Sì, la famiglia di inclusioni:
\[
\forall 1\leq p \leq \infty,\quad \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})
\]
vale e si dimistra in maniera banale: per $p<oo$ basta tenere presente che, fuori da un compatto, vale la maggiorazione:
\[
|f(x)| \leq \frac{C}{x^{2/p}}
\]
che assicura la sommabilità di $|f|^p$ intorno a $+- oo$, mentre la continuità di $f$ ti assicura la limitatezza e, quindi, la sommabilità di $|f|^p$ nel compatto rimanente.
D'altro canto, la continuità di $f$ ed il fatto che $|f(x)|<= C/x$ intorno a $+-oo$ implica che $f$ è limitata ovunque, sicché l'appartenenza a $L^oo$ segue facile.

Il fatto che \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) sia denso in $L^p(RR)$ con $1 <= p < oo$ significa che per ogni $u in L^p(RR)$ esiste almeno una successione \(f_n \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\lim_n \| f_n - u\|_p = 0\ \iff\ f_n \to u\ \text{in } L^p\; .
\]
Questo è conseguenza del fatto che \(C_c^\infty (\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})\) e che lo spazio delle funzioni indefinitamente derivabili a supporto compatto è denso in $L^p$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 19609 di 44915
Iscritto il: 12/10/2007, 23:58
Località: Napoli

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda lukixx » 04/10/2018, 09:40

grazie mille ragazzi
lukixx
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 43 di 189
Iscritto il: 27/11/2015, 20:47

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda lukixx » 06/10/2018, 17:43

gugo82 ha scritto:Sì, la famiglia di inclusioni:
\[
\forall 1\leq p \leq \infty,\quad \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})
\]
vale e si dimistra in maniera banale: per $p<oo$ basta tenere presente che, fuori da un compatto, vale la maggiorazione:
\[
|f(x)| \leq \frac{C}{x^{2/p}}
\]
che assicura la sommabilità di $|f|^p$ intorno a $+- oo$, mentre la continuità di $f$ ti assicura la limitatezza e, quindi, la sommabilità di $|f|^p$ nel compatto rimanente.
D'altro canto, la continuità di $f$ ed il fatto che $|f(x)|<= C/x$ intorno a $+-oo$ implica che $f$ è limitata ovunque, sicché l'appartenenza a $L^oo$ segue facile.

Il fatto che \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) sia denso in $L^p(RR)$ con $1 <= p < oo$ significa che per ogni $u in L^p(RR)$ esiste almeno una successione \(f_n \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\lim_n \| f_n - u\|_p = 0\ \iff\ f_n \to u\ \text{in } L^p\; .
\]
Questo è conseguenza del fatto che \(C_c^\infty (\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})\) e che lo spazio delle funzioni indefinitamente derivabili a supporto compatto è denso in $L^p$.


io ho capito tutto il tuo discorso, ma secondo me crolla tutto a monte perchè x^(2/p) non è un polinomio eccetto che per $p=1, 2$ e per definizione di funzione a decrescenza rapida $ P(x) * f(x) in L^(oo)(mathbb(R)) $ con P(x) polinomio. La dimostrazione fatta da me è valida per $p=1, 2, +oo$, magari se sussiste una generalizzazione dimostrata vorrei vederne la dimostrazione
lukixx
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 48 di 189
Iscritto il: 27/11/2015, 20:47

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda dissonance » 06/10/2018, 17:50

Ti stai imbrogliando tra "funzioni a decrescenza rapida" e "funzioni a crescita lenta".
dissonance
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 14481 di 27757
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda lukixx » 08/10/2018, 06:35

dissonance ha scritto:Ti stai imbrogliando tra "funzioni a decrescenza rapida" e "funzioni a crescita lenta".


a me non pare:

$f$ a decrescenza rapida $ hArr p_n(x)*f^((m))(x)in L^(oo)(mathbb(R)) $ con $ p_n(x) $ polinomio di grado n (INTERO)
o equivalentemente che $ |x^n * f^((m))(x)|<=c_(n,m) $ ma in nell'esempio di gugo82 $n=2/p notin mathbb(N)$

$ f $ a crescenza lenta $ hArr f(x)=p_n(x)*u(x);uinL^1(mathbb(R)) $
lukixx
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 49 di 189
Iscritto il: 27/11/2015, 20:47

Re: sommabilità di f in L^2(R)

Messaggioda dissonance » 08/10/2018, 08:14

Siamo d'accordo che
\[
|f(x)|\le C_n |x|^{-n},\qquad \forall n\in\mathbb N?\]
Se siamo d'accordo su questo, allora basta prendere una \(n\) più grande di \(\tfrac2p\). Infatti, per \(|x|>1\),
\[
|f(x)|\le C_n |x|^{-n}\le C_n |x|^{-\frac2p}.\]
Per \(|x|\le 1\) non hai problemi di sommabilità, perché \(|f(x)|\le \max(|f(y)|\ :\ |y|\le 1)\) (questo esiste finito perché \(f\) è continua).

E quindi \(|f|^p\) è sommabile.
dissonance
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 14486 di 27757
Iscritto il: 24/05/2008, 19:39
Località: Nomade

Precedente

Torna a Analisi superiore

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite