gugo82 ha scritto:"$f in P_n$"? E come fa a decrescere rapidamente? O ad essere sommabile?
gugo82 ha scritto:Sì, la famiglia di inclusioni:
\[
\forall 1\leq p \leq \infty,\quad \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})
\]
vale e si dimistra in maniera banale: per $p<oo$ basta tenere presente che, fuori da un compatto, vale la maggiorazione:
\[
|f(x)| \leq \frac{C}{x^{2/p}}
\]
che assicura la sommabilità di $|f|^p$ intorno a $+- oo$, mentre la continuità di $f$ ti assicura la limitatezza e, quindi, la sommabilità di $|f|^p$ nel compatto rimanente.
D'altro canto, la continuità di $f$ ed il fatto che $|f(x)|<= C/x$ intorno a $+-oo$ implica che $f$ è limitata ovunque, sicché l'appartenenza a $L^oo$ segue facile.
Il fatto che \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) sia denso in $L^p(RR)$ con $1 <= p < oo$ significa che per ogni $u in L^p(RR)$ esiste almeno una successione \(f_n \in \mathcal{S}(\mathbb{R})\) tale che:
\[
\lim_n \| f_n - u\|_p = 0\ \iff\ f_n \to u\ \text{in } L^p\; .
\]
Questo è conseguenza del fatto che \(C_c^\infty (\mathbb{R}) \subseteq \mathcal{S}(\mathbb{R}) \subseteq L^p(\mathbb{R})\) e che lo spazio delle funzioni indefinitamente derivabili a supporto compatto è denso in $L^p$.
dissonance ha scritto:Ti stai imbrogliando tra "funzioni a decrescenza rapida" e "funzioni a crescita lenta".
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