Esercizietto su $\sigma$-finitezza

[feddy]

Certamente $A$ non appartiene alla famiglia degli $A_i$ ! L'ho scelto senza indice apposta, solo che in effetti mi rendo conto possa sembrare un refuso

[...] Necessariamente esiste \( i_0 \in \mathbb{N} \) t.c. \( m(B \cap A_{i_0} ) > 0 \) (perché?).

$i_0$ esiste perché essendo l'unione degli $A_i$ tutto $RR^n$, ed essendo $B$ un sottoinsieme di $RR^n$ di misura non nulla, allora deve essere un $A_i$ che ha intersezione deve essere non banale con $B$, da cui l'esistenza di tale indice $i_0$.

Tutto ok?

P.S: : hai abbandonato la numerica per darti alla TdM? A parte gli scherzi, ho visto che te ne intendi parecchio di numerica e penso tu faccia matematica! E' un fenomeno singolare, o è solo una mia impressione?

Ahah diciamo che sulla numerica vado tranquillo per ora ! Ti ringrazio comunque, lo stesso devo dirlo per te su TdM!

Ho iniziato ora analisi funzionale, ma questi esercizi li sto facendo un po' così per non lasciare nulla al caso diciamo, e sono abbastanza utili
Ho iniziato il primo anno di magistrale in Matematica, ma diciamo che ho scelto un curriculum molto "computational". Da quello che ho notato finora nella mia brevissima esperienza gli analisti numerici sono visti come delle specie di orchi da alcuni cerchie di matematici (vai a capire perché poi...), ma mi sono sempre sembrate cose abbastanza sterili
E' verissimo quello che dici, a Matematica molti la "odiano", ma secondo me antepongono l'aspetto "pratico" dell'implementazione (fondamentale, per carità!) al vero nocciolo della materia, che altro non è che analisi.

[Bremen000]

$i_0$ esiste perché essendo l'unione degli $A_i$ tutto $RR^n$, ed essendo $B$ un sottoinsieme di $RR^n$ di misura non nulla, allora deve essere un $A_i$ che ha intersezione deve essere non banale con $B$, da cui l'esistenza di tale indice $i_0$.

Tutto ok?

Oddio, così è un po' tautologico e se con "non banale" intendi "diverso dal vuoto", allora non va bene perché a priori potrebbe essere che \(B \) interseca solo degli \( A_i \) di misura nulla; io direi così: se tale \( i_0 \) non esistesse¹si avrebbe \( m(A_i \cap B) =0 \) per ogni \( i \in \mathbb{N} \) ma allora

\[ m(B) = m ( B \cap \mathbb{R}^n ) = m \biggl ( B \cap \bigcup_{i \in \mathbb{N}} A_i \biggr ) = m \biggl ( \bigcup_{i \in \mathbb{N}} B \cap A_i \biggr ) \le \sum_{i \in \mathbb{N}} m(A_i \cap B) = \sum_{i \in \mathbb{N}} 0 =0 \]

da cui \( m(B)=0 \) che è assurdo.

Sono contento che qualcuno così partecipe sul forum come te e anto inizi corsi che si incasellano in analisi superiore: diciamo che gli esercizi sui residui e sulle trasformate che popolano la sezione non sono i miei preferiti. Insomma sono sicuro che sarà l'occasione per avere delle belle discussioni su questi argomenti!

Per la questione di numerica allora confermi la mia impressione. Io vivo la situazione opposta: vengo da ingegneria matematica e quindi lì la numerica pervade il dipartimento mentre discipline più teoriche sono meno valorizzate! Inoltre, sempre nel ruolo di tuo simmetrico, ti confesso che sebbene abbia fatto diversi corsi anche interessanti (su pde, navier-stokes, sistemi di pde...) di numerica, è una disciplina che proprio non mi va giù!

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Note

1. Si noti la mia deformazione mentale a procedere per assurdo ↑

[feddy]

La tua argomentazione è perfetta e chiarissima, la mia era una semplice "idea", non voleva essere nulla di formale, ma ti ringrazio per la completezza ! E sì, per assurdo è sicuramente la via migliore

Sono contento che qualcuno così partecipe sul forum come te e anto inizi corsi che si incasellano in analisi superiore: diciamo che gli esercizi sui residui e sulle trasformate che popolano la sezione non sono i miei preferiti. Insomma sono sicuro che sarà l'occasione per avere delle belle discussioni su questi argomenti!

Assolutamente
Trasformate (Laplace,Fourier,Zeta,ecc..), residui, ecc. li ho fatti ad Analisi Complessa, che ho trovato molto bella, ma purtroppo le richieste qui in genere si limitano a integrali da svolgere coi residui (pieni di contazzi) o trasformate fatte senza pensarci troppo sù. Sono contento pure io di aver iniziato, sono piuttosto certo che avrò qualche curiosità/domanda da porvi.


Off-topic numerico

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Sarò sincero: probabilmente senza un bravo professore ("bravo" inteso come capacità di trasmettere i contenuti) è una disciplina che rischia di sembrare estremamente arida. Almeno così la vedo io. Poi ovviamente a uno deve piacere un minimo la filosofia della materia (e saper programmare )

[Delirium]

[...] Forse si può fare anche in modo diretto ma questa mi sembra la via più agevole! [...]

Penso si possa fare con la disuguaglianza di Chebyshev: per non appesantire la notazione assumo che \( f \ge 0 \) su tutto \( \mathbb{R}^n \);
\[ N_i= \{ x \in A_i \, : \, f(x) = + \infty \} \subseteq \{ x \in A_i \, : \, f(x) \ge n \} \quad \forall \, n \] e \[ m ( \{ x \in A_i \, : \, f(x) \ge n \} ) \le \frac{1}{n} \int_{A_i} f \]donde \[ m \left( \bigcup_i N_i \right) = m ( \{f = + \infty \}) = 0.\]