Antitrasformata di Laplace, frazione con esponenziale

[paoloelettronico96]

Salve a tutti, gentilmente qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere questa antitrasformata? Avevo pensato di provare a scomporre in fratti semplici solo il denominatore e i risultati moltiplicarli per il numeratore, ma mi sono incartato .
$ (2*e^(-2s))/(s*(s+1)*(s+2)) $

[dissonance]

È un procedimento giusto. Com'è che ti sei incartato? Fai i conti con calma.

[Exodus]

Prima portiamo la seguente funzione:
\[\frac{2}{s\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )}e^{-2s}\]
in questa forma più semplice da antitrasformare:
\[\left ( \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2} \right )e^{-2s}\]
Non ci rimane altro che calcolare i vari \(A,B,C\):
\[A=\left [ \frac{2}{\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )} \right ]_{s=0}=1\]
\[B=\left [ \frac{2}{s\left ( s+2 \right )} \right ]_{s=-1}=-2\]
\[C=\left [ \frac{2}{s\left ( s+1 \right )} \right ]_{s=-2}=1\]
in definitiva:
\[\left ( \frac{1}{s}-\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2} \right )e^{-2s}\]
Adesso è più semplice antitrasformare

[paoloelettronico96]

Ho fatto più volte i conti e non mi trovo mai con il risultato.
Scomponendo in fattori semplici e calcolando i residui mi trovo i tre addendi da antitrasformare
$ (e^(-2s)/(s)+e^(-2s)/((s+2))-(2*e^(-2s))/(s+1)) $
A questo punto pensavo di procedere con la seconda proprietà di traslazione usandola all'inverso ma penso proprio di sbagliare qualcosa perchè continuo a non trovarmi. Potrei gentilmente sapere come devo fare ?

[paoloelettronico96]

Prima portiamo la seguente funzione:
\[\frac{2}{s\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )}e^{-2s}\]
in questa forma più semplice da antitrasformare:
\[\left ( \frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2} \right )e^{-2s}\]
Non ci rimane altro che calcolare i vari \(A,B,C\):
\[A=\left [ \frac{2}{\left ( s+1 \right )\left ( s+2 \right )} \right ]_{s=0}=1\]
\[B=\left [ \frac{2}{s\left ( s+2 \right )} \right ]_{s=-1}=-2\]
\[C=\left [ \frac{2}{s\left ( s+1 \right )} \right ]_{s=-2}=1\]
in definitiva:
\[\left ( \frac{1}{s}-\frac{2}{s+1}+\frac{1}{s+2} \right )e^{-2s}\]
Adesso è più semplice antitrasformare

Grazie mille per i passaggi della scomposizione, il problema però non è tanto nei conti che ho rifatto, ma nella antitrasformazione

[Exodus]

Grazie mille per i passaggi della scomposizione, il problema però non è tanto nei conti che ho rifatto, ma nella antitrasformazione

A parte che queste antitrasformate sono abbastanza banali, ad esempio:
\[L^{-1}\left [ \frac{1}{s}e^{-2s}\right ]=u\left ( t-2 \right ) \]
E' un semplice gradino ritardato,mentre le altre 2 sono degli esponenziali.
In genere antitrasformate del genere sono immediate, in pratica si antitrasforma con delle tabelle, a meno che non si voglia ricalcolare ogni volta le stesse cose, oppure con altre tecniche, ma questo dipende da come ti hanno insegnato a farlo.
Ad esempio un metodo che si usa per le antitrasformate è il lemma di Jordan...

[paoloelettronico96]

Per maggiore chiarezza sul mio dubbio vi posto il mio risultato e quello del libro.
Antitrasformando ottengo :
$ u(t+2)*(1-2*e^(2-t)+e^(2-2t)) $
Il risultato invece dovrebbe essere
$ u(t-2)*(1-2*e^(2-t)+e^(4-4t)) $
Non mi riesco a trovare nè il termine in U nè l'ultimo esponenziale

[Exodus]

Per maggiore chiarezza sul mio dubbio vi posto il mio risultato e quello del libro.

Entrambe sono sbagliate...
Quella giusta è la seguente:
\(u\left ( t-2 \right )\left ( 1-2e^{-\left ( t-2 \right )}+e^{-2\left ( t-2 \right )} \right )\)

[gugo82]

@Exodus: Mi pare sia la soluzione del testo, no?

[Exodus]

@Exodus: Mi pare sia la soluzione del testo, no?

Guarda meglio, a meno che non abbia riportato male il risultato del libro :
\(e^{4-4t}\neq e^{-2\left ( t-2 \right )}\)