Serge Lang ha scritto:
Sia \(\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \) una funzione olomorfa definita su un aperto \(\displaystyle U\subset\mathbb{C} \). Fissato \(\displaystyle z\in U \), sia \(\displaystyle f'(z)=a+ib \). Sia infine \(\displaystyle w=h+ik \), con \(\displaystyle h, k \) numeri reali.
Per definizione di derivata, si ha \(\displaystyle f(z+w)-f(z)=f'(z)w+\sigma(w)w \), dove \(\displaystyle \sigma(w)\to 0 \) per \(\displaystyle w\to 0 \). In particolare \(\displaystyle f'(z)w=(a+ib)(h+ik)=ah-bk+i(bh+ak) \).
Considero adesso il campo vettoriale \(\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) \) associato ad $f$. Sfruttando quanto sopra, si ha \[\displaystyle \mathbf{F}(x+h,y+k)-\mathbf{F}(x,y)=(ah-bk,bh+ak)+h\sigma_1(h,k)+k\sigma_2(h,k), \] dove nuovamente le funzioni \(\displaystyle \sigma_i \) tendono a zero per \(\displaystyle (h,k)\to 0 \). Richiedere che $f$ sia olomorfa equivale a richiedere che $F$ sia differenziabile in senso reale; la matrice Jacobiana associata è \[\displaystyle J_{(x,y)}\mathbf{F}=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\ \partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}, \] da cui si derivano le equazioni di Cauchy-Riemann \(\displaystyle \partial_x u=\partial_y v \), \(\displaystyle \partial_y u=-\partial_x v \).
Provo a procedere a ritroso. Sia \(\displaystyle f=u(x,y)+iv(x,y) \) definita su $U$ aperto una funzione tale da soddisfare le equazioni di Cauchy-Riemann, con \(\displaystyle u,v \) differenziabili in senso reale. E' possibile associare nuovamente a tale funzione il campo \(\displaystyle \mathbf{F}(x,y)=(u(x,y),v(x,y)) \), che risulta differenziabile in quanto ciascuna delle due componenti è differenziabile per ipotesi. La Jacobiana è quindi della forma \[ \displaystyle J_{(x,y)}\mathbf{F}=\begin{bmatrix}\partial_x u & \partial_y u \\ \partial_x v & \partial_y v\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\partial_x u & -\partial_x v \\ \partial_x v & \partial_x u\end{bmatrix}:=\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}, \] e siccome con questa identificazione \(\displaystyle \langle J_{(x,y)}\mathbf{F},w\rangle=(ah-bk,bh+ak) \), si ha \[ \displaystyle \mathbf{F}(x+h,y+k)-\mathbf{F}(x,y)=(ah-bk,bh+ak)+h\sigma_1(h,k)+k\sigma_2(h,k), \] da cui separando le componenti reale e immaginaria, si ottiene ancora \( \displaystyle f(z+w)-f(z)=(a+ib)w+\sigma(w)w \), cioè \(\displaystyle f \) è olomorfa con derivata \(\displaystyle f'=\partial_x u-i\partial_y u \).
