Applicazione principio del massimo modulo.

[Lèo]

Ciao, potete buttare un occhio a questi esercizi?

i) Siano \(\displaystyle a_1,...,a_n \) punti sulla circonferenza unitaria \(\displaystyle \mathcal{C} \). Mostrare che esiste un punto \(\displaystyle z\in\mathcal{C} \) tale che il prodotto delle distanze tra \(\displaystyle z \) e \(\displaystyle a_j \) è almeno \(\displaystyle 1 \).

Sia \(f(z)=\prod_{j=1}^n(z-a_j) \) definita sull'insieme aperto \(\displaystyle \Omega=\{z\in\mathbb{C} : |z|<1\} \). Tale funzione è polinomiale e quindi sicuramente analitica su $Omega$, ed è tale che \(\displaystyle |f(z)| \) rappresenta il prodotto delle distanze tra $z$ e ogni \(\displaystyle a_j \). Inoltre, si ha \(|f(0)|=|\prod_j (-a_j)|=1 \) dato che \(\displaystyle a_j\in\mathcal{C} \). Il principio del massimo modulo implica quindi che esiste \(\displaystyle z_0\in\partial\Omega=\mathcal{C} \) tale che \(\displaystyle |f(z_0)|>|f(z)| \) per ogni \(\displaystyle z\in\Omega \), e quindi in particolare \(\displaystyle |f(z_0)|\ge |f(0)= 1 \).

Qui ho usato una versione del principio trovata su Wikipedia, spero sia corretta; il Lang ne riporta un enunicato un po' diverso, che tira in ballo il concetto di funzione localmente costante e che ho trovato più di aiuto nel secondo punto...

ii) Sia \(\displaystyle f \) una funzione intera a valori reali su \(\displaystyle \mathcal{C} \). Allora \(\displaystyle f \) è costante.

Il fatto che \(\displaystyle f \) sia reale sulla circonferenza unitaria implica che per ogni \(\displaystyle z \) tale che \(\displaystyle |z|=1 \) si abbia \(\displaystyle \Im f(z)=v=0 \) identicamente. Per il principio del massimo modulo inoltre, il massimo di \(\displaystyle |f| \) deve essere raggiunto su \(\displaystyle \mathcal{C} \), e poiché \(\displaystyle |f| \) dipende monotonamente da $v^2$, necessariamente \(\displaystyle v=0 \) quando \(\displaystyle |z|<1 \). Sfruttando le equazioni di Cauchy-Riemann, per ogni \(\displaystyle z\in\mathcal{C} \) posso scrivere \(\displaystyle f'(z)=\partial_y v+i\partial_x v=0 \), il che implica che \(\displaystyle f \) sia costante sul disco unitario. Adesso ho un problema: come dimostro che la funzione è costante anche all'infuori?

iii) Una funzione olomorfa non può avere modulo costante senza essere riconducibile a una costante.

Supponiamo di avere \(\displaystyle f \) olomorfa su \(\displaystyle \Omega \) tale che \(\displaystyle |f(z)|=c \) per ogni \(\displaystyle z\in\Omega \). Si ha \(\displaystyle |f|=u^2+v^2 \), quindi se \(\displaystyle u^2+v^2=0 \), la funzione è identicamente nulla e quindi costante. Altrimenti, differenziando (ignoro il fattore $2$) e usando Cauchy-Riemann ottengo \(\displaystyle 0=u\partial_x u+v\partial_x v=u\partial_y u+v\partial_y v=-u\partial_x v+v\partial_x u \). Riorganizzando in una sola equazione ottengo \(\displaystyle u\partial_y u+v\partial_y v+u\partial_x v-v\partial_x u=0 \) che deve valere per ogni scelta di $u$ e $v$ non entrambi nulli. Adesso però ho un dubbio su come mostrare che questa condizione basta a risolvere il problema...

[dissonance]

Non mi convinci sul ii. Ho capito che \(v=0\) sulla circonferenza, ma questo non puoi estenderlo alla parte interna così facilmente come la fai tu. Potrebbe esserci, nell'interno, una parte immaginaria non nulla e una parte reale piccolina, mentre sulla circonferenza c'è una parte immaginaria nulla e una parte reale enorme. In questo scenario, il modulo assume massimo sulla circonferenza e non c'è nessuna contraddizione.

Quanto al iii, non occorre assumere \(u^2+v^2\ne 0\), la funzione \(z\mapsto |z|^2\) è reale-differenziabile ovunque. Non sommare le due equazioni, così perdi informazioni. Riscrivile in forma di sistema;
\[
\begin{cases}
u v_y +v v_x = 0 , \\
-uv_x +v v_y=0.
\end{cases}
\]
Qual è la matrice associata a questo sistema di equazioni lineari, in cui \(u, v\) fanno da coefficienti e \(v_x, v_y\) fanno da indeterminate? (È solo a questo punto che devi discutere il caso \(u^2+v^2=0\) a parte).

[gugo82]

Domanda bonus: provare che se tra parte reale $u$ e coefficiente dell’immaginario $v$ di una funzione olomorfa $f: Omega -> CC$ c'è una dipendenza del tipo $Phi(u,v)=0$ (con $Phi$ “decente”) in $Omega$, allora $f$ è costante in $Omega$.

[Lèo]

Al bonus ci pensiamo dopo gugo per quanto riguarda al punto tre: il sistema si riscrive come \[\displaystyle \begin{bmatrix} u & v \\ v & -u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\partial_x u \\ \partial_x v\end{bmatrix}=0 \] Il determinante di questa matrice è \(\displaystyle \det M=-(u^2+v^2)=-|f| \). Quindi ci sono due casi: se \(\displaystyle |f|=0 \) allora necessariamente \(\displaystyle u=v=0 \) e di conseguenza \(\displaystyle f \) è costante; d'altro canto se \(\displaystyle |f|\ne 0 \) allora $M$ risulta invertibile e moltiplicando entrambi i membri per \(\displaystyle M^{-1} \) si ha \(\displaystyle \partial_x u=\partial_x v=0 \), ovvero $f$ è costante.

Per il secondo: oltre al principio del massimo ho scoperto l'esistenza del principio del minimo. Qui lo posso usare: se \(\displaystyle v=0 \) sul bordo allora \(\displaystyle |f(z\in\mathcal{C})|=u^2 \); tale valore deve essere al tempo stesso il valore massimo e il valore minimo che può assumere il modulo per \(\displaystyle |z|\le 1 \). Quindi, il modulo è costante, \(\displaystyle v=0 \), e la funzione è costante per tali punti.

[gugo82]

Domanda bonus: provare che se tra parte reale $u$ e coefficiente dell’immaginario $v$ di una funzione olomorfa $f: Omega -> CC$ c'è una dipendenza del tipo $Phi(u,v)=0$ (con $Phi$ “decente”) in $Omega$, allora $f$ è costante in $Omega$.

Preciso che questo è più un esercizio sulle CR che sul massimo modulo.

[Lèo]

@gugo: con \(\displaystyle \Phi \) "decente" intendi di classe \(\displaystyle \mathcal{C}^1 \)? Dovrei pensare al Dini?

[dissonance]

Che è questo "principio del minimo"? Te lo sei inventato? E quanto al punto tre c'è ancora un passaggio da fare, devi dimostrare che si annullano pure le derivate rispetto a y.