stavo continuando a studiare un po' per i fatti miei teoria della misura e mi sono imbattuto in un argomento fatto dalla prof sulle successioni di funzioni misurabili, però solo per successioni di funzioni $f:RR->RR$.
La affermazione incriminata è la seguente:
sia $f_n:RR->RR$ una successione di funzioni misurabili.
Se $f_n ->g$ puntualmente, allora $g$ è misurabile
Se $f_n ->g$ puntualmente, allora $g$ è misurabile
L'affermazione è anche causa della seguente domanda(a me stesso): presi $(X,F)$ e $(Y,G)$ due spazi misurabili con $X,Y$ non vuoti e sia $Y^X$ l'insieme delle funzioni $f:Y->X$. Se avessi a che fare con una successione di funzioni ${f_n}_(n in NN)subseteqY^X$ come faccio a parlare di convergenza?
Ho pensato subito agli spazi topologici e vi chiedo: ha senso parlare di ste cose in strutture, passatemi il termine, solo topologiche?
poi ho continuato pensando che un pelo sopra ci stanno gli spazi metrici e scribacchiando ho tirato fuori idea(ovviamente niente di nuovo, ma lo espongo giusto per chiedervi indirettamente se la cosa sia utile).
siano $X,Y$ insiemi non vuoti e $(Y,d_Y)$ spazio metrico, allora la funzione:
$d(f,g):=s u p {d_Y(f(x),g(x)) : x in X}$
induce una metrica su $Y^X$
per arrivare a:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
siano $X,Y$ due insiemi non vuoti e $(Y,d)$ spazio metrico.
se $Y$ è completo allora $Y^X$ è completo(in metrica sup)
se $Y$ è completo allora $Y^X$ è completo(in metrica sup)
dimostrazione
supponiamo che $Y$ sia completo e che ${f_n}_(n in NN)$ sia una successione di Cauchy.
$forallepsilon>0 exists k in NN: forall n,m in NN(n,m>k => d(f_n,f_m)<epsilon)$
$forallepsilon>0 exists k in NN: forall n,m in NN(n,m>k => d(f_n(x),f_m(x))<epsilon, forallx in X)$
$forallepsilon>0 exists k in NN: forall n,m in NN(n,m>k => d(f_n(x),f_m(x))<epsilon, forallx in X)$
quindi $forallx in X$ la successione ${f_n(x)}_(n in NN)$ è una successione di $Y$: essendo $Y$ completo allora
$forallx in X existsl in Y: lim_(n->+infty)d(f_m(x),l(x))=0$
con l'assioma della scelta ci costruiamo una bellissima funzione
$l:X->Y$ tale che $forallx in X, lim_(n->+infty)d(f_m(x),l(x))=0$
a questo punto costruita questa funzione, fissato $epsilon>0$ trovo un $k in NN$ tale che:
$foralln,m in NN( n,m>k => forallx in X, d(f_n(x),f_m(x))<epsilon/2)$
ma allora per $n,m>k$ avremo
$forallx in X, d(f_n(x),l(x))leqd(f_n(x),f_m(x))+d(f_m(x),l(x))<epsilon/2+d(f_m(x),l(x))$
per ogni $x in X$ possiamo passare al limite per $m->+infty$ ottenenedo
$forallx in X, d(f_n(x),l(x))leqepsilon/2+lim_(m->+infty)d(f_m(x),l(x))leqepsilon/2+0<epsilon$
quindi la convergenza di $f_n$ verso $l$ è uniforme e $Y^X$ pertanto è completo1
seconda domanda(prima però ditemi se la dimostrazione fila : posso continuare a studiare teoria della misura usando spazi di funzioni completi, oppure non serve ad una cippa?
da notare che tutto questo l'ho voluto fare per considerare spazi che siano sia metrici che di misura, in modo da poter parlare sia di misurabilità che di convergenza di funzioni(chiaramente a parte la dimostrazione considero anche $(X,d_X)$ spazio metrico) e di successioni di funzioni.
- questo teorema mi serve per il teorema sullo scambio di limiti e sulla continuità del limite uniforme ↑