Analiticità implica Olomorfia (Dimostrazione)

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Salve, ho da poco cominciato a studiare per l'esame di metodi matematici per l'ingegneria.
Leggo che una funzione Analitica è Olomorfa e che vale anche il viceversa. Ho visto la dimostrazione della seconda implicazione e l'ho capita. Ho problemi sulla prima poichè non viene riportata e non sono sicuro se ho appreso bene le nozioni precedenti.
Ho pensato che essendo f analitica allora essa è di classe $ C^oo $.
Ora nella definizione di funzione Olomorfa leggo: Sia $ f:A->C, A sube C $ aperto; diremo che f è olomorfa in A se essa è ivi derivabile con derivata continua. In termini equivalenti f è olomorfa se è di classe $ C^1(A) $ .
Essendo f una funzione analitica allora essa è di classe $ C^oo $ e quindi anche olomorfa ?

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Che una funzione analitica è olomorfa è immediato: come dici una funzione analitica in $A$ è di classe $C^{\infty}(A)$ e quindi in particolare ivi derivabile. Però mi torna poco quando dici

Sia $ f:A->C, A sube C $ aperto; diremo che f è olomorfa in A se essa è ivi derivabile con derivata continua. In termini equivalenti f è olomorfa se è di classe $ C^1(A) $

Nella definizione di funzione olomorfa ci va soltanto la derivabilità; non è richiesto che sia $C^1$. Poi in pratica una funzione complessa derivabile in un aperto $A$ è in automatico $ C^1(A), C^2(A)... $ ma questo va provato, non è la definizione.

Ciao, grazie
Per quanto riguarda la definizione, è la prima definizione che riporta il testo. In seguito ( ma non l'ho ancora studiata questa parte ) dimostra il teorema di Goursat e conclude dicendo che dalla definizione che ho scritto prima si può togliere l'ipotesi $ C^1(A) $

[dissonance]

Si però attenzione: quando si scrive \(C^1\) o \(C^\infty\) si intendono di solito le derivate in senso reale.