Intanto, il percorso d'integrazione che hai disegnato è più complicato del necessario. Tra l'altro, non si comprende il motivo per cui tu abbia orientato il percorso nel verso opposto rispetto a quello più naturale. Inoltre, prima di procedere, conviene la seguente trasformazione:
$f(z)=(sqrt((z-z_1)(z_2-z)))/z=(isqrt((z-z_1)(z-z_2)))/z$
Quindi, al netto dei passaggi al limite:
$\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz+\int_{C_(r_2)(o r a r i o)}f(z)dz-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz+\int_{C_(r_1)(o r a r i o)}f(z)dz+\int_{C_R(a n t i o r a r i o)}f(z)dz=$
$=2\pii*Res[f(z),0]$
Infine:
Calcolo del residuo
$2\pii*Res[f(z),0]=2\pii*lim_(z->0)isqrt((z-z_1)(z-z_2))=2\pisqrt(z_1z_2)$
Calcolo dei limiti per i quali il raggio tende a zero
$lim_(r_2->0)\int_{C_(r_2)(o r a r i o)}f(z)dz=0$
$lim_(r_1->0)\int_{C_(r_1)(o r a r i o)}f(z)dz=0$
Calcolo del limite per il quale il raggio diverge (mediante il residuo all'infinito)
$lim_(R->+oo)\int_{C_R(a n t i o r a r i o)}f(z)dz=2\pii*Res[1/\omega^2f(1/\omega),0]=2\pii*Res[(isqrt((1-z_1\omega)(1-z_2\omega)))/\omega^2,0]=$
$=2\pii*lim_(\omega->0)(i[-z_1(1-z_2\omega)-z_2(1-z_1\omega)])/(2sqrt((1-z_1\omega)(1-z_2\omega)))=\pi(z_1+z_2)$
Impostazione dei due integrali sull'asse reale
$\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz=\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(isqrt((x-z_1)(x-z_2)))/xdx=-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(sqrt((x-z_1)(z_2-x)))/xdx$
$-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}f(z)dz=-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(isqrt((x-z_1)(x-z_2)))/xdx=-\int_{x_1+r_1}^{x_2-r_2}(sqrt((x-z_1)(z_2-x)))/xdx$
Integrale
$\int_{x_1}^{x_2}(sqrt((x-x_1)(x_2-x)))/xdx=\pi((x_1+x_2)/2-sqrt(x_1x_2))$
Ad ogni modo, per non commettere errori, devi prestare la massima attenzione alle diverse determinazioni della funzione polidroma. Se non riesci da solo con l'aiuto della soluzione, fammi sapere.