Non riesco a concludere una dimostrazione:
Dato uno spazio di misura $(X,Sigma,mu)$ con $Sigma$ una $sigma-$algebra e $mu$ una misura $sigma-$additiva
Sia ${A_i}_(i in NN)$ una successione di insiemi in $Sigma$: voglio mostrare che
$lim_(n->+infty)mu(bigcup_(k=1)^(n)A_k)=mu(bigcup_(k=1)^(infty)A_k)$
Sicuramente è vero che $lim_(n->+infty)mu(bigcup_(k=1)^(n)A_k)leqmu(bigcup_(k=1)^(infty)A_k)$
Se almeno un $A_k$ ha misura infinita quella uguaglianza sussiste in quanto $mu(A_k)$ costringe tutte e due a divergere.
Se tutti hanno misura finita non mi viene un modo per concludere.
Un hint?
EDIT dovrei averlo risolto.
Ho considerato che se ${E_n}$ è una successione crescente di insiemi allora
$lim_(n->+infty)mu(E_n)=mu(bigcup_(n=1)^(infty)E_n)$
Quindi ho posto $E_n=bigcup_(k=1)^(n)A_k$, che è una successione crescente di insiemi, e considerato che
$bigcup_(n=1)^(infty)bigcup_(k=1)^(n)A_k=bigcup_(i=1)^(infty)A_i$
.Resto in attesa.
devo ammettere che avessi ragione, mi sta piacendo molto la teoria della misura 