Analisi complessa: integrale con parametrizzazione contorno

[Scrael]

Buongiorno, riporto il testo di un esercizio con cui ho difficoltà nello svolgimento.

Calcolare l'integrale $int_gamma (z^2-4)^-1dz$ dove $gamma$ è un qualunque contorno che, partendo da $-2i$, arriva a $2i$, girando una volta in senso orario intorno a $2$ senza includere $-2$.

Il mio problema è riuscire a parametrizzare il contorno $gamma$. Ho provato a scriverlo come somma di tre pezzi
$gamma=lambda_1+gamma_R+lambda_2$ dove $lambda_1$ è il segmento da $-2i$ a $2-2i$, $gamma_R=2+Re^(itheta)$ è la circonferenza centrata in $2$ con $pi/2<theta<(3pi)/2$ e $lambda_2$ è il segmento da $2+2i$ a $2i$.
Calcolando gli integrali sulle tre curve escono calcoli che non mi sembrano giusti.
Utilizzando il teorema dei residui ottengo che l'integrale è uguale a $(ipi)/2$ mentre il testo riporta come soluzione $-(3ipi)/4$.
La mia domanda è: è giusto come ho scritto il contorno?
Grazie per l'attenzione.

[gugo82]

Non serve alcuna parametrizzazione.
Usa i teoremi dei residui.

[Scrael]

Ok, usando il teorema dei residui, calcolo il residuo di $f(z)$ solo nel punto $2$ giusto? Anche perché la somma dei residui si annulla aggiungendo anche l'altro contributo. Solo che ottengo un risultato diverso da quello indicato.
Riporto i miei passaggi.
$Res_(z=2) f(z)=1/4$

$int_gamma f(z)dz=2pii(1/4)=pii/2$

mentre il risultato dovrebbe essere $-3ipi/4$.
Non capisco dove sbaglio.

[Quinzio]

Un possibile percorso, anche se poi non e' rilevante, potrebbe essere andare da $-2i$ a $0$, poi fare una circonferenza attorno a $2$ (raggio $2$), quindi andare da $0$ a $2i$.
L'integrale quindi si compone del percorso da $-2i$ a $2i$ (unendo i 2 pezzi) piu' il "residuo" della circonferenza.
L'integrale lo scriviamo come
$1/4 \int_{\gamma} (1/(z-2) - 1/(z+2)) dz = 1/4 ln((z-2)/(z+2))\right]_{-2i}^{2i} - 2\pi i "Res"(2) = $

$(- \pi / 4 - pi/4 - pi/4) i= -3/4 i\pi$

Il segno "meno" davanti al residuo e' dovuto al fatto che la il giro viene fatto in senso orario.

[Scrael]

Davvero molto utile! Ti ringrazio tantissimo!