Integrale complesso con logaritmo

[copf.d]

Buongiorno a tutti,
vorrei chiedervi qualche delucidazioni su questo integrale:

$\int_0^1 ln((x^2+sqrt(3)x+1)/(x^2-sqrt(3)x+1)) dx/x$

Non ho idea neanche sul se posso utilizzare il metodo dei residui, ed in caso affermativo quale cammino utilizzare. Qualcuno può darmi un punto da cui partire?

[Euclidino]

L'integrale \(\int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \) può essere calcolato in due modi diversi.

Primo modo : sviluppare \(\frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x}\) in una serie di potenze \(2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta)\). Verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \(\theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6}\) in une serie di Fourier.

Secondo modo : considerare la funzione \(f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Verificare le ipotesi da derivarla. \(f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Allora, Possiamo calcolare \(f'(\theta)\) abbastanza facilmente et trovare \(f'(\theta) = -\theta\). Quidi, \(f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2}\). Possiamo calcolare \(f(0)\) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \(\frac{\ln(x+1)}{x}\) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere la serie finale.

[copf.d]

L'integrale \( \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \) può essere calcolato in due modi diversi.

Primo modo : sviluppare \( \frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x} \) in una serie di potenze \( 2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta) \). Verificare le ipotesi da cambiare \( \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \) in \( \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \( \theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6} \) in une serie di Fourier.

Secondo modo : considerare la funzione \( f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \). Verificare le ipotesi da derivarla. \( f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \). Allora, Possiamo calcolare \( f'(\theta) \) abbastanza facilmente et trovare \( f'(\theta) = -\theta \). Quidi, \( f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2} \). Possiamo calcolare \( f(0) \) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \( \frac{\ln(x+1)}{x} \) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \( \int_0^1 \sum_{n=1}^\infty \) in \( \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \). Riconoscere la serie finale.

L'integrale \(\int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x \) può essere calcolato in due modi diversi.

Primo modo : sviluppare \(\frac{\ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} = \frac{\ln(1+xe^{i\theta})+\ln(1+xe^{-i\theta})}{x}\) in una serie di potenze \(2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} \cos(n\theta)\). Verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere nel risultato finale ottenuto lo sviluppo della funzione \(\theta \in [-\pi,\pi] \to \frac{\pi^2-3\theta^2}{6}\) in une serie di Fourier.

Secondo modo : considerare la funzione \(f : \theta \in ]-\pi, \pi[ \to \int_0^1\frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Verificare le ipotesi da derivarla. \(f'(\theta) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial \theta} \frac{ \ln(x^2+2\cos(\theta)x+1)}{x} {\rm d}x\). Allora, Possiamo calcolare \(f'(\theta)\) abbastanza facilmente et trovare \(f'(\theta) = -\theta\). Quidi, \(f(\theta) = f(0) - \frac{\theta^2}{2}\). Possiamo calcolare \(f(0)\) quasi come nel primo modo ma più facilmente. Sviluppare \(\frac{\ln(x+1)}{x}\) in una serie di potenze , verificare le ipotesi da cambiare \(\int_0^1 \sum_{n=1}^\infty\) in \(\sum_{n=1}^\infty \int_0^1\). Riconoscere la serie finale.

Grazie mille