dRic ha scritto:1) Sia $(\Omega, M, \mu)$ spazio di misura e supponiamo che $E \subset M$ e che $\mu(E) = 0$. Adesso prendiamo $E_0 \subset E$, possiamo concludere che $\mu(E_0) = 0$ ? No, perché $E_0$ potrebbe essere contenuto in $P(Omega)$ (insieme delle parti), ma non in $M$ e quindi non sappiamo se $E_0$ sia misurabile. Se volessi $\mu(E_0) = 0$ allora dovrebbe essere $E_0 \subset M$ (ovvero dovrebbe essere misurabile). Corretto questo ragionamento ?
Sì.
Le $sigma$-algebre \(\mathcal{M}\) tali che, per ogni \(E \in \mathcal{M}\) con $mu(E)=0$, risulta:
\[
E_0 \subseteq E\quad \Rightarrow\quad E_0 \in \mathcal{M}\quad (\text{e quindi } \mu (E_0)=0)
\]
si chiamano
$sigma$-algebre complete (
rispetto alla misura $mu$) e sono quelle che si usano di solito.
dRic ha scritto:2) Non riesco proprio a capire il concetto di integrale rispetto a una misura. Per esempio, sia $\chi_E(x)$ la funzione caratteristica di $E$ sottoinsieme di $Omega$, non riesco proprio a capire il senso della seguente definizione:
$$\int_{\Omega} \chi_E(x)d\mu(x) = \mu(E)$$
Pensa all'integrale di Riemann.
La funzione caratteristica di un intervallo compatto $[a,b]$ è integrabile secondo Riemann in $RR$ (sarebbe meglio dire "in senso improprio", ma adesso non preoccupartene... Sto facendo un esempio solo per farti cogliere l'analogia) e risulta:
\[
\int_{\mathbb{R}} \chi_{[a,b]}(x)\ \text{d} x = \int_a^b \text{d} x = b-a\;,
\]
con l'ultimo membro che coincide con la lunghezza (cioè con la misura unidimensionale) dell'intervallo $[a,b]$.
Visto che la $x$ nel simbolo $"d" x$ serve unicamente a "tener d'occhio" la variabile d'integrazione
1, essa può essere rimpiazzata da qualsiasi oggetto sia più utile evidenziare per esplicitare ciò da cui dipende il valore dell'integrale: in tale ottica, dato che l'uguaglianza precedente mostra che l'integrale di \(\chi_{[a,b]}\) dipende dalla lunghezza dell'intervallo, i.e. dalla misura unidimensionale (di solito denotata con $m$ o $lambda$) definita sulla retta reale, puoi pensare di modificare il simbolo d'integrale per mettere in luce tale dipendenza e scrivere:
\[
\int_{\mathbb{R}} \chi_{[a,b]}(x)\ \text{d} m(x) = m([a,b])
\]
(in cui la $x$ l'ho lasciata perché c'è nella tua notazione, ma a me non piace tanto).
Questo paragone dovrebbe aiutarti ad intuire che la definizione di integrale rispetto a $mu$ di una funzione caratteristica riproduce nel caso astratto ciò cui sei abituato nel caso concreto più semplice, cioè quello degli integrali di Analisi I.
dRic ha scritto:In particolare, che cosa sarebbe quel $d\mu(x)$?
È un simbolo che ti consente di tenere sott'occhio la misura rispetto alla quale stai integrando.
Insomma, svolge lo stesso ruolo del $"d"x$ negli integrali di Riemann, che serviva a tenere traccia del nome della variabile di integrazione.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)