gugo82 ha scritto:Non credo di aver mai incontrato problemi in cui è assegnata condizione sulla derivata tangenziale (cioè sulla componente tangenziale del gradiente $Df$), ma può essere mia mancanza (non ho mai riflettuto sulla sensatezza di un dato simile, in realtà).
Recentemente stavo pensando a una cosa del genere per un modello di elettrostatica. Non siamo andati oltre al pensiero però al momento.
dRic ha scritto:Immaginando la sezione come un cerchio perfetto, mi chiedevo se, sul bordo, potessi avere un andamento della temperatura con $ \theta $ anche molto "brutto", ad esempio con dei salti o dei punti angolosi.
Questo dipende dalla tua nozione di soluzione. Se cerchi soluzioni classiche dell'equazione allora non è possibile avere un dato al bordo troppo irregolare, perché una soluzione classica ha due derivate continue all'interno del dominio ed è continua fino al bordo incluso.
[Disclaimer: quello che segue potrebbe essere impreciso perché non ricordo bene tutti i dettagli, ma ti darà un'idea della situazione.]
Le cose cambiano se cerchi una soluzione debole, ad esempio in \(H^1\), perché in tal caso un dato al bordo di Dirichlet può essere anche solo una traccia di una funzione \(H^1(\Omega)\).
dRic ha scritto:Per esempio, posto $ R $ il raggio esterno:
\[ T(R,\theta )= g(\theta) = \begin{cases} 1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\ 2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\ \end{cases} \]
Spesso, poiché è difficile stimare a priori una temperatura al contorno, si impongono le condizioni sul flusso di calore (che è proporzionale alla derivata prima/gradiente). Credo anche io sia un problema di Neumann, ma, in effetti, non mi sono mai chiesto sei il flusso di calore debba per forza essere normale alla superficie.
Non deve, ma la parte tangenziale non rientra nella condizione al bordo di solito perché il problema è ben posto specificando la parte normale.
dRic ha scritto:Considerando ad esempio un problema di Neumann, mi chiedevo se potessi avere una cosa del tipo:
\[ \frac {dT(R,\theta )} {dr} \mathbf u_r = \dot Q(\theta) = \begin{cases} 1, & \text{ per } & 0 \le \theta < \pi \\ 2, & \text{ per } & \pi \le \theta \le 2\pi \\ \end{cases} \]
Per un problema di Neumann in forma forte vale quello che ho detto prima; in forma debole devi avere il dato al bordo in \(L^2(\partial\Omega)\), se il dominio è abbastanza regolare (Lipschitziano almeno?).
La morale della storia è che è possibile formulare dei problemi per equazioni con dati discontinui, ma questo richiede una matematica di un livello superiore ed infatti è stato uno dei punti focali dell'analisi nell'ultimo secolo.