Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda dissonance » 30/12/2018, 23:20

Quanto alla radice quadrata, l'idea è molto semplice; se \(K\) è un operatore compatto allora esso ammette una decomposizione polare
\[
K=SM, \]
dove \(S\) ("segno") è una specie di operatore unitario e \(M\) ("modulo") è un operatore simmetrico e semidefinito positivo. L'operatore \(M\) ammette almeno una radice quadrata, che è a sua volta un operatore compatto; e quindi
\[
K=S\sqrt{M}\,\sqrt{M},\]
perciò \(K\) è il prodotto di due operatori compatti.
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda otta96 » 31/12/2018, 11:47

Grazie dissonance :smt023

fmnq ha scritto:Gli anelli sono $ZZ$-algebre, e $ZZ$ è un anello particolare che dà alla categoria delle sue algebre proprietà particolari.

Ohioi ora pure le algebre si possono fare su anelli qualsiasi, non bastavano gli spazi vettoriali? Che palle :smt012
Scherzo chiaramente, è interessante.
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda fmnq » 31/12/2018, 17:21

otta96 ha scritto:Ohioi ora pure le algebre si possono fare su anelli qualsiasi

Sono i monoidi che si possono definire in una categoria monoidale qualsiasi: se $(\mathcal C, \otimes)$ è monoidale, un monoide interno è un oggetto $M$ tale che esistano delle mappe $m : M\otimes M\to M$ e $u : I\to M$ tali che
\[
\begin{CD}
M\otimes M\otimes M @>1\otimes m>> M\otimes M \\
@Vm\otimes 1VV @VVmV \\
M\otimes M @>>m> M
\end{CD}
\begin{CD}
I\otimes M @>u\otimes 1>> M\otimes M @<1\otimes u<< M \otimes I\\
@V\wr VV @VVmV @VV\wr V\\
M @= M @= M
\end{CD}
\] siano commutativi (si legge "$m$ è associativa, e $u$ sceglie un elemento neutro per l'operazione definita da $m$").

Se $\mathcal C$ è $k\text{-Mod}$, e $\otimes$ è il prodotto tensoriale di moduli, i monoidi interni sono esattamente le $k$-algebre. La stessa definizione ti dà la giusta nozione di algebra in luoghi vicini e lontani da $k\text{-Mod}$: per esempio, se $\mathcal C$ è la categoria degli spazi di Banach, ottieni la nozione di algebra di Banach, e la richiesta che valga $\|xy\|\le\|x\|\cdot \|y\|$ segue da come hai definito $\otimes$ e da come hai definito i morfismi di spazi di Banach.
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda otta96 » 01/01/2019, 17:18

No vabbè ora mi hai perso completamente, fino alle algebre sugli anelli ci potevo più o meno arrivare, ma qui no.
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda fmnq » 01/01/2019, 17:27

La definizione di categoria non ha prerequisiti; quella di categoria monoidale presuppone che tu abbia semplicemente familiarità con l'algebra lineare. Credo in te.
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda otta96 » 01/01/2019, 17:34

:-D
La definizione di categoria l'avevo anche già letta e capita tempo fa, magari ci provo anche con quella di categoria monoidale, comunque avresti per caso una referenza introduttiva alle algebre su anelli?
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda fmnq » 01/01/2019, 17:43

Beh, si tratta di argomenti classici (se io ti chiedessi un riferimento per la definizione di topologia saresti un po' in imbarazzo, no?); qualsiasi libro di algebra andrà bene. Grillet, Chevalley, l'Algebra di Bourbaki... la pagina di wikipedia contiene un po' tutte le informazioni basilari: https://en.wikipedia.org/wiki/Associative_algebra
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Re: Domande sull'ideale degli operatori compatti

Messaggioda otta96 » 01/01/2019, 19:01

fmnq ha scritto:e io ti chiedessi un riferimento per la definizione di topologia saresti un po' in imbarazzo, no?

Probabilmente ti consiglierei il Dugundji :D e la pagina Wikipedia di topologia
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