Continuità di un funzionale non lineare

[feddy]

Buongiorno,

spesso viene chiesto, dato un funzionale lineare , se questo è continuo, e la strada da seguire di solito è mostrare che è "bounded". Nel caso di funzionali non lineari però ovviamente questo non è più sufficiente. La continuità in questo caso si traduce nella sua definizione "classica": dato $T: X \rarr RR$, con $(X, || \cdot ||)$ sp. vett. normato, T si dice continuo se per ogni successione $\{ x_k \}_k \rarr \bar{x}$ si ha che $T(x_k) \rarr T(\bar{x})$.

Un possibile esempio potrebbe essere questo:

$T: (C^{0}[0,1] , || \cdot ||_{\infty}) \rarr (C^{0}[0,1] , || \cdot ||_{\infty})$, definito da $T(f)(x)=e^{-f(x)^2}$.

Voglio mostrarne la continuità. Sia dunque ${ f_k}_k$ una successione di funzioni continue in $[0,1]$ convergente a $f$ rispetto alla sup-norma. Ovviamente $f$ è pure continua. Quello che va verificato è che $|| T(f_k)(x) - T(f)(x) ||_{\infty} \rarr_k 0$

Per Lagrange si ha che $e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} =(f_k(x) - f(x)) * -2ce^{-c^2}$, per un $c$ che sta tra $f_k(x)$ e $f(x)$, $x \in [0,1]$. Da cui segue che $|e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2}|<|2c|*|f_k(x) - f(x)|$.

Passando al sup: $ ||e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} ||_{\infty} < || f_k(x)-f(x)||_{\infty} $ e passando al limite si ha la tesi.

Può andare?

[Bremen000]

Ciao feddy!
Penso ci sia un intoppo qua:

[...]Per Lagrange si ha che $ e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} =(f_k(x) - f(x)) * -2ce^{-c^2} $, per un $ c $ che sta tra $ f_k(x) $ e $ f(x) $, $ x \in [0,1] $. Da cui segue che $ |e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2}|<|2c|*|f_k(x) - f(x)| $.
Passando al sup: $ ||e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} ||_{\infty} < || f_k(x)-f(x)||_{\infty} $ e passando al limite si ha la tesi.[...]

Cioè il risultato è giusto, ma devi considerare che $c$ dipende sia da $x\in [0,1]$ che da $k \in \mathbb{N} $. E quindi quando passi al \( \sup \) su $x$ e fai il limite su \( k \) ci potrebbero essere dei problemi.

Non è difficile da sistemare in questo caso, però!

P.S. : il tuo caso non è nemmeno quello di un funzionale ma è proprio un operatore tra spazi di Banach!

[dissonance]

In questi casi io consiglio sempre di usare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Siccome
\[
e^{-y^2} - e^{-z^2} = \int_z^y \frac{d}{du}(e^{-u^2})\, du =-2\int_z^y ue^{-u^2}\,du, \]
si ha
\[
e^{-f_k(x)^2}-e^{-f(x)^2}=-2\int_{f(x)}^{f_k(x)} ue^{-u^2}\, du, \]
e da qui credo proprio tu possa concludere facilmente, seguendo il tuo ragionamento originale.

[feddy]

Ciao ad entrambi !

@Bremen000 hai ragione. Entro stasera posto la correzione.

@dissonance Non c'avevo pensato, anche se l'idea essenzialmente è sempre la stessa. A questo punto posso usare il thm della media integrale e concludere utilizzando la convergenza uniforme di $f_k(x)$ a $f(x)$ !

[dissonance]

Esattamente. L'idea è la stessa ma il metodo è migliore. Come vedi, è meno soggetto ad errori, ed è anche più elegante.

[dissonance]

teorema della media integrale

Secondo me è ancora più facile così:
\[
\left\lvert-2\int_{f(x)}^{f_k(x)} ue^{-u^2}\, du\right\rvert\le 2\mathrm{max}(\lvert ue^{-u^2}\rvert \ :\ u\in\mathbb R)\lvert f_k(x)-f(x)\rvert.\]
Credo che \(\lvert ue^{-u^2}\rvert \) sia massima per \(u\) intorno a \(1\). Comunque, non è essenziale conoscere la costante di Lipschitz esatta.

[Bremen000]

Dubbio: ma se la mappa con cui componiamo $f$ non avesse avuto derivata limitata? Non so se così si riesce a far funzionare tutto il macchinario. In quel caso ( e in questo caso anche) credo basti osservare che se $X$ è compatto, \( f \in C(X) \) , \( \{f_n\}_{n \ge 1} \subset C(X) \), \( f_n \to f \) uniformemente e \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è continua, allora \( g \circ f_n \to g \circ f \) uniformemente.

[dissonance]

Certo. Se \(g\) non è Lipschitziana, pure la mappa \(f\mapsto g\circ f\) non è Lipschitziana di \(C(X)\) in \(C(X)\), come è da aspettarsi. In questo caso, però, abbiamo una \(g\) esplicita, e con il metodo di questo post si ottiene pure la costante di Lipschitz della mappa \(g\mapsto g\circ f\). Non solo; questa mappa è continua su \(C_b(\mathbb R)\) (funzioni continue e limitate), non solo su \(C([0, 1])\).

[otta96]

Ma il teorema funziona anche con una funzione uniformemente continua secondo voi?

[dissonance]

Si. Però non hai una stima esplicita di \(\|g(f_1)-g(f_2)\|\).