Ho la seguente definizione:
Sia $Ω⊆\mathbb(C)$ un aperto. Una funzione $f:Ω→\mathbb(C)$ si dice olomorfa in $z_0∈Ω$ se esiste finito il limite$f^' (z_0 )≔lim_(z→z_0 )(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)$
Il professore ci ha detto che in realtà le funzioni olomorfe in un aperto sono funzioni analitiche e questo lo dimostreremo più avanti però ho notato che fin dalla prime caratterizzazione di olomorfia si usa il fatto che una funzione olomorfa in un aperto è di classe $C^1$.
Ho dimostrato la seguente proposizione:
Sia $Ω⊆\mathbb(C)$ un aperto. Una funzione $f:Ω→\mathbb(C)$ è olomorfa in $z_0∈Ω$ se e solo se $f$ è $\mathbb(R)$ - differenziabile in $z_0$ e $f_(\bar{z})(z_0)=0$
Mi sembra di non aver usato da nessuna parte la continuità delle derivate parziali tuttavia si trova ovunque online la seguente caratterizzazione
Sia $Ω⊆\mathbb(C)$ un aperto. Una funzione $f:Ω→\mathbb(C)$ è olomorfa in $Ω$ se e solo se $f\inC^1(\Omega)$ e $f_(\bar{z})(z_0)=0 \forall z_0\in\Omega$
Perciò mi chiedo: è realmente necessaria la continuità delle derivate parziali? Se si, perché?
Inoltre mi piacerebbe mostrare almeno che se una funzione è olomorfa in un aperto allora essa è di classe $C^1$ in tale aperto. Qualche idea su come procedere? Praticamente posso sfruttare solo la definizione di funzione olomorfa. Se la dimostrazione della prima proposizione è corretta allora ho che se $f$ è olomorfa in $Ω$ allora è ivi $\mathbb(R)$ - differenziabile e perciò la continuità di $f$ e l'esistenza delle derivate parziali sono ok, devo però mostrare la continuità di tali derivate...
