vorrei verificare che la sequenza di funzioni data da $\{ f_n(x) \}_n \subset C^{0} [0, 2\pi]$ data da $f_n(x)= \sin((1+\frac{1}{n})x)$ è relativamente compatta in $C^{0}$.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Ovviamente se valgono le ipotesi di Ascoli-Arzela (poiché $C^{0} [0, 2\pi]$ con la metrica uniforme è completo) la tesi segue subito.
Serve mostrare che $\{ f_n(x) \}$ sono equicontinue ed equibounded:
Sono banalmente equibounded in quanto per ogni $n$ e per ogni $x$ dell'intervallo si ha che $| f_n(x)| \leq 1$.
Per quanto riguarda l'equicontinuità vale che
$|f_n(x)-f_n(y)| \leq \int_x^y |u_n'(t)|dt \leq (1+\frac{1}{n}) |x-y| \leq 2 |x-y|$
Per cui si conclude applicando AA.
Altrimenti si può usare la definizione1: data quindi la successione $\{f_n(x) \}_n= \{ \sin((1+\frac{1}{n}) x)\}_n$ posso sempre costruire una successione $\{ f_{n_k}(x) \}_k$ convergente in $C^{0}$: ad esempio se scelgo $n_k=n(k)=2k+1$ (cioè estraggo i dispari) questa successione converge comunque a $\sin(x)$.
O ci sono modi migliori per provarlo con la definizione (i.e. più formali ad esempio) ?
- in questo caso che ogni successioni in $C^{0} [0, 2 \pi]$ contiene una successione convergente in $C^{0}$ ↑