Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda feddy » 23/12/2018, 15:46

Ciao a tutti,

vorrei verificare che la sequenza di funzioni data da $\{ f_n(x) \}_n \subset C^{0} [0, 2\pi]$ data da $f_n(x)= \sin((1+\frac{1}{n})x)$ è relativamente compatta in $C^{0}$.

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Ovviamente se valgono le ipotesi di Ascoli-Arzela (poiché $C^{0} [0, 2\pi]$ con la metrica uniforme è completo) la tesi segue subito.
Serve mostrare che $\{ f_n(x) \}$ sono equicontinue ed equibounded:

Sono banalmente equibounded in quanto per ogni $n$ e per ogni $x$ dell'intervallo si ha che $| f_n(x)| \leq 1$.

Per quanto riguarda l'equicontinuità vale che
$|f_n(x)-f_n(y)| \leq \int_x^y |u_n'(t)|dt \leq (1+\frac{1}{n}) |x-y| \leq 2 |x-y|$


Per cui si conclude applicando AA.

Altrimenti si può usare la definizione1: data quindi la successione $\{f_n(x) \}_n= \{ \sin((1+\frac{1}{n}) x)\}_n$ posso sempre costruire una successione $\{ f_{n_k}(x) \}_k$ convergente in $C^{0}$: ad esempio se scelgo $n_k=n(k)=2k+1$ (cioè estraggo i dispari) questa successione converge comunque a $\sin(x)$.
O ci sono modi migliori per provarlo con la definizione (i.e. più formali ad esempio) ? :-)

Note

  1. in questo caso che ogni successioni in $C^{0} [0, 2 \pi]$ contiene una successione convergente in $C^{0}$
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda Delirium » 23/12/2018, 19:28

Ma sei sicuro che il testo sia corretto? Perché così è banale, l'intera successione converge uniformemente a \( \sin(x) \) su \([0, 2 \pi ] \) e non ti serve Ascoli-Arzelà per dirlo.
Delirium
 

Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda feddy » 23/12/2018, 20:11

Ciao Delirium,

non è il testo di un esercizio. Volevo verificare che fosse relativamente compatta con la definizione, come ho cercato di mostrare alla fine del mio post.
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda feddy » 24/12/2018, 19:59

Sì in effetti quindi è sufficiente dire che $\{ f_n \}$ converge uniformemente a $\sin(x)$ per mostrarne la relativa compattezza :)
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda dissonance » 25/12/2018, 15:45

Un esempio molto più interessante è $\sin(x+n) $, ragiona su quello.
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda feddy » 25/12/2018, 16:00

Ciao dissonance,

grazie per lo spunto.

Ovviamente per $\sin(x+n)$ non c'è convergenza uniforme su $[0, 2\pi]$, pertanto non si può concludere subito come prima.

Però, utilizzando AA in modo analogo a quanto fatto sopra mostrando equicontinuità della sequenza e equiboundedness, allora esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ che converge uniformemente a una funzione continua $f: [0, 2 \pi] \rightarrow RR$. La potenza del teorema è quella ovviamente di garantire l'esistenza di una tale sottosuccessione anche in casi come questo dove non c'è nemmeno convergenza uniforme.

Spero di non aver commesso inesattezze
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda dissonance » 25/12/2018, 16:24

OK. Per capire bene questo teorema lo devi applicare a qualche problema concreto, calcolo delle variazioni o equazioni differenziali. P.S.: https://math.stackexchange.com/q/3052185/8157
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda feddy » 25/12/2018, 16:30

Sì, cercavo infatti qualche applicazione "seria" (non che queste non lo siano) in rete ma ho trovato poco. Sicuramente in ottimizzazione o CdV dovrei riuscire a comprenderlo più a fondo.
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Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda Delirium » 25/12/2018, 18:13

Ascoli-Arzelà è usato molto anche da chi fa teoria degli operatori, leggiti roba sugli operatori di tipo Volterra. Una cosa interessante, che spesso sfugge, è che Ascoli-Arzelà è un se e solo se.

Un'applicazione notevole in Calcolo delle Variazioni è il teorema di esistenza di geodetiche in spazi metrici; è un esercizio che puoi provare a fare. Dalla teoria sulle curve sai che la lunghezza di una curva Lipschitziana \( \gamma :[a,b] \to [0,1] \times [0,1] \) è data da \[ \text{Var}(\gamma) = \int_a^b |\gamma ' | (t) \, dt = \int_a^b \sqrt{\gamma_1 ' ^2(t) + \gamma_2' ^2 (t)} \, dt; \]con Ascoli-Arzelà si può dimostrare che il problema \[ \min \{ \text{Var}(\gamma) \, : \, \gamma \in \text{Lip}([a,b],[0,1]^2) \text{ con } \gamma(a)=\mathbb{x}, \, \gamma(b)=\mathbb{y} \} \]ha soluzione (purché l'insieme delle curve Lip che connettono \(\mathbb{x} \) e \( \mathbb{y} \) sia non vuoto). Nota che \( [0,1]^2 \) può poi essere sostituito con qualsiasi spazio metrico compatto (possibilmente connesso per archi rettificabili, e introducendo un'opportuna nozione di derivata metrica).
Delirium
 

Re: Sequenza di funzioni relativamente compatta

Messaggioda gugo82 » 26/12/2018, 11:22

@feddy: Il ragionamento fatto nel post iniziale può essere abbreviato, osservando che le funzioni sono equilipschitziane e perciò equicontinue in $[0,2pi]$.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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