Studiando meccanica quantistica, mi sono imbattuto nel seguente argomento: "Atomo idrogenoide come problema di Keplero".
Ad un certo punto compaiono due integrali che dopo alcune semplificazioni possono essere scritti come:
$ I_1=int_(-a)^a sqrt(a^2-x^2)/(1-x^2)dx $ con a<1 e anche
$ I_2=int_(a)^b (sqrt(x-a)sqrt(b-x))/xdx $ con 0<a<b .
Purtroppo negli appunti vengono presentate direttamente le soluzioni (senza dimostrazione).
Ho provato a risolvere questi due integrali passando ai complessi ma ottengo segni opposti rispetto a quelli della soluzione.
Ho usato il seguente procedimento:
1) Noto che in entrambi i casi ho a che fare con funzioni polidrome, le quali non presentano singolarità lungo il
percorso di integrazione, quindi decido di lavorare con un taglio tra -a e a per il primo integrale e tra a e b per il
secondo. Scelgo allora come percorso di integrazione la curva chiusa $ Gamma $ che gira attorno al taglio in senso
orario. $ Gamma $ si compone di 4 parti : due segmenti $ l_(+-) $ (uno sopra e l'altro sotto il taglio) e due due archi
di circonferenza centrati nei punti di diramazione $ gamma_epsilon ^(+-) $, con $ epsilon $ raggio infinitesimo .
2) L'integrale sulla curva $ Gamma $ dovrebbe essere uguale a $ -2ipisum_()Res[f(z),z_i] +2ipiRes[f(z),infty] $
dove nel primo integrale i residui al finito $ z_i=+-1 $ , mentre nel secondo $ z_i=0 $
3) Ma L'integrale sulla curva $ Gamma $ si scopone come somma degli integrali sugli archi $ gamma_epsilon ^(+-) $
che si annullano al limite per $ epsilon $ che tende a zero e degli integrali su $ l_(+-) $ che possono scrivere
come & 2I_1 & e & 2I_2 & nel secondo integrale.
A questo punto il problema si riduce a calcolo dei residui quindi:
4) Per il residuo al infinito uso il fatto che $ Res[f(z),infty]=-Res[f(1/omega)/omega^2, omega=0] $
5) Per i residui al finito noto che i punti singolari sono tutti poli semplici quindi uso la formula apposita.
Sono convinto di aver fatto bene i conti quindi o ho sbagliato qualcosa nel procedimento oppure ho sbagliato qualcosa nel costruire e parametrizzare il taglio. Potete aiutarmi a capire cosa devo correggere?