Logaritmo complesso

[anonymous_0b37e9]

... il dominio di analiticità della prima ...
... il dominio di analiticità della seconda ...

Non mi sembra che le tue argomentazioni siano corrette.

... in un esercizio svolto dal libro ...

Non so se può essere utile, ma quell'integrale dipende dal percorso:

$\int_(gamma_1)2/zdz-\int_(gamma_2)2/zdz=4\pii rarr \int_(gamma_1)2/zdz=\int_(gamma_2)2/zdz+4\pii$

Inoltre, se il percorso passa per l'origine, è necessario prestare ancora più attenzione.

[anonymous_0b37e9]

A questo punto, vista la condizione su $z$ che avevi omesso, il procedimento più semplice è operare il taglio lungo il semiasse positivo delle ascisse:

$0 lt= \theta lt 2\pi$

$z=|z|e^(i\theta)$

$logz=log|z|+i\theta$

$AA \gamma : \int_gamma2/zdz=[2logz]_(-1)^z=2logz-2log(-1)=2logz-2\pii$

Insomma, non si comprende il motivo per cui si debba procedere mediante la determinazione principale del logaritmo.

... il dominio di analiticità della prima ...
... il dominio di analiticità della seconda ...

Solo adesso ho capito che cosa intendevi. Ad ogni modo, mi sembra una questione di poca rilevanza. Soprattutto perché, non essendo necessario esprimere il risultato mediante la determinazione principale del logaritmo (se non esplicitamente richiesto), poco ha a che fare con l'integrale proposto.

... se ti va controlla quello che dico di seguito ...

Si tratta di dimostrare che:

$AA \gamma : \int_gamma2/zdz=2logz-2\pii$

$\pi/2 lt arg(z) lt 3/2\pi$

si può esprimere come hai scritto nel primo messaggio:

$AA \gamma : \int_gamma2/zdz=Logz^2-Log1$

$[-\pi lt arg(z^2) lt -\pi/2] vv [\pi/2 lt arg(z^2) lt \pi]$

Ad ogni modo, almeno per quanto mi riguarda, dove si voglia andare a parare rimane un mistero.