Trasformata di fourier della derivata

[giusemrt]

Ciao a tutti,
Ho un problema a capire un passaggio fondamentale sulla dimostrazione della formula della trasformata di fourier della derivata di una funzione.
Le condizioni sono che:
$ u in L^1(RR)$
$ u' in L^1(RR)$
$ u in C^1(RR) $
Cioè $u$ e $u'$ devono essere assolutamente integrabili e $u$ deve avere derivata prima.
Quindi scrivendo la trasformata di Fourier rispetto alla derivata si ha:

$ hat(u)(omega) = int_(-oo)^(oo) u(x) e^(-iomegax) dx = iomega hat(u)(omega)$

$ \mathcal(F)[u'(x)](omega) = $ $int_(-oo)^(oo) u'(x) e^(-iomegax) dx $

Integrando per parti la formula precedente si ottiene:

$int_(-oo)^(oo) u'(x) e^(-iomegax) dx= [e^(-iomegax)u(x)]{::}_(\ \-oo)^oo - text()int_(-oo)^(oo) u(x) e^(-iomegax) dx $

Adesso gli appunti sul quale sto studiando e anche altri libri dicono che in base alle ipotesi fatte il termine dentro le parentesi quadre è nullo. io non riesco a capire il ragionamento che cè dietro e vorrei una mano.

Grazie mille anticipatamente

[giusemrt]

Grazie per la risposta, ma ancora non capisco il nesso tra il fatto che la funzione sia assolutamente integrabile e il fatto che il limite del modulo di tale funzione che tende all'infinito sia 0.

[giusemrt]

Grazie ancora,
Ho letto ciò che è scritto nel link iche mi hai suggerito ma non ho capito molto, ancora mi manca il passaggio tra il fatto che una funzione sia L1 e C1, probabilmente mi manca ancora qualche teorema e un po' di teoria. Mi potresti dire dove posso vedere per capire questi concetti. Grazie ancora

[giusemrt]

Si, sto studiando per metodi matematici, I libri che sto vedendo sono il barozzi e degli appunti presi in classe. Cmq grazie ancora cercherò di trovare qualche esempio per capire la questione