@dissonance scusa ma non ci ho capito gran che nel il link che hai mandato. Tuttavia mi è venuto in mente un modo divertente per dimostrare il tutto. Mi puoi dire se è giusto ?
Essenzialmente devo dimostrare la seguente
Tesi:
$$\int_0^{+i \infty} z^k e^{-z} dz = \int_0^{+\infty} x^k e^{-x}dx$$
con $z \in \CC$, $x \in RR$, ed $k \in \NN$
Dim:
Considero il seguente circuito $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3$ dove $\gamma_1 = [0, R]$, $\gamma_2 = [0, iR]$ e $\gamma_3$ è la retta che conclude il triangolo di vertici $(0, 0)$ $(0, R)$ e $(0, iR)$.
Dunque si dovrebbe avere:
$$\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz + \int_{\gamma_2} f(z) dz + \int_{\gamma_3} f(z) dz = 0$$
L'idea è quella di mostrare che per $R -> \infty$:
- $\int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_0^{+i \infty} z^k e^{-z} dz$
- $\int_{\gamma_2} f(z) dz =\int_0^{+\infty} x^k e^{-x}dx$
- $\int_{\gamma_3} f(z) dz = 0$
In questo modo la tesi sarebbe dimostrata.
Parametrizzando $\gamma_3(t) = R + t(iR - R) = R(1 + ti - t)$ e $\gamma'(t) = Ri$, l'integrale su $gamma_3$ diventa:
$$ \int_0^1 R^k(1 + ti - t)^k e^{-R(1 + ti - t)} Ri dt = R^{k+1}e^{-R} i \int_0^1 (1 + ti + t) e^{-Rti}e^{Rt}dt$$
Maggioro:
$$\left| R^{k+1}e^{-R} i \int_0^1 (1 + ti + t) e^{-Rti}e^{Rt}dt \right| \le \left| R^{k+1}e^{-R} \right| \int_0^1 \left| (1 + ti - t) e^{-Rt}\right|dt$$
Adesso mi sembra abbastanza evidente che si possa passare al limite sotto segno integrale perché, per $R>0$, la funzione è limitata nell'intervallo e si puo' maggiorare con una costante indipendente da $R$ ed quindi:
$$\lim_{R \rightarrow +\infty} \left| R^{k+1}e^{-R} \right| \int_0^1 \left| (1 + ti - t) e^{-Rt}\right|dt = 0$$
da qui la tesi.
Che ne dici?