Re: Esercizio trasformata di Fourier

Messaggioda dissonance » 11/01/2019, 14:37

E' proprio quello il punto: gli estremi di integrazione. Dovresti integrare su una semiretta nel piano complesso, ma per qualche ragione puoi ricondurti a integrare su \([0, \infty)\). Il tuo procedimento non è rigoroso unicamente perché non dimostri quest'ultimo fatto.

SUGGERIMENTO: https://math.stackexchange.com/a/271130/8157

(guarda come usa la "contour integration" per giustificare una cosa molto simile)
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Re: Esercizio trasformata di Fourier

Messaggioda dRic » 11/01/2019, 15:06

Grazie del link. Oggi sono parecchio impegnato e forse anche nei prossimi giorni, ma appena posso mi studio a modo la questione (mi ci vuole un po' di tempo perché non sono molto lesto a capire queste cose). Nel caso apro un nuovo thread. Ciao!
dRic
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Re: Esercizio trasformata di Fourier

Messaggioda Matemagica11 » 11/01/2019, 15:39

Tornando alla trasformata iniziale... forse prima di portare fuori la derivata k-esima rispetto a xi devo vedere se si può fare? Che condizioni devono esserci?
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Re: Esercizio trasformata di Fourier

Messaggioda dRic » 13/01/2019, 18:45

@dissonance scusa ma non ci ho capito gran che nel il link che hai mandato. Tuttavia mi è venuto in mente un modo divertente per dimostrare il tutto. Mi puoi dire se è giusto ?

Essenzialmente devo dimostrare la seguente
Tesi:
$$\int_0^{+i \infty} z^k e^{-z} dz = \int_0^{+\infty} x^k e^{-x}dx$$
con $z \in \CC$, $x \in RR$, ed $k \in \NN$

Dim:

Considero il seguente circuito $\gamma = \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3$ dove $\gamma_1 = [0, R]$, $\gamma_2 = [0, iR]$ e $\gamma_3$ è la retta che conclude il triangolo di vertici $(0, 0)$ $(0, R)$ e $(0, iR)$.

Immagine

Dunque si dovrebbe avere:

$$\int_{\gamma} f(z) dz = \int_{\gamma_1} f(z) dz + \int_{\gamma_2} f(z) dz + \int_{\gamma_3} f(z) dz = 0$$

L'idea è quella di mostrare che per $R -> \infty$:
- $\int_{\gamma_1} f(z) dz = \int_0^{+i \infty} z^k e^{-z} dz$
- $\int_{\gamma_2} f(z) dz =\int_0^{+\infty} x^k e^{-x}dx$
- $\int_{\gamma_3} f(z) dz = 0$
In questo modo la tesi sarebbe dimostrata.

Parametrizzando $\gamma_3(t) = R + t(iR - R) = R(1 + ti - t)$ e $\gamma'(t) = Ri$, l'integrale su $gamma_3$ diventa:
$$ \int_0^1 R^k(1 + ti - t)^k e^{-R(1 + ti - t)} Ri dt = R^{k+1}e^{-R} i \int_0^1 (1 + ti + t) e^{-Rti}e^{Rt}dt$$
Maggioro:
$$\left| R^{k+1}e^{-R} i \int_0^1 (1 + ti + t) e^{-Rti}e^{Rt}dt \right| \le \left| R^{k+1}e^{-R} \right| \int_0^1 \left| (1 + ti - t) e^{-Rt}\right|dt$$
Adesso mi sembra abbastanza evidente che si possa passare al limite sotto segno integrale perché, per $R>0$, la funzione è limitata nell'intervallo e si puo' maggiorare con una costante indipendente da $R$ ed quindi:
$$\lim_{R \rightarrow +\infty} \left| R^{k+1}e^{-R} \right| \int_0^1 \left| (1 + ti - t) e^{-Rt}\right|dt = 0$$
da qui la tesi.

Che ne dici?
dRic
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Re: Esercizio trasformata di Fourier

Messaggioda dissonance » 14/01/2019, 11:31

Esatto, pensavo proprio a qualcosa di questo genere. Mi pare che vada tutto bene.
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