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[Risolto] Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 09/01/2019, 16:07
da Ulisse802.11
Ho questo esercizio che riporto qui di seguito.
Studiare le proprietà di linearità, stazionarietà, stabilità, causalità e memoria con riferimento ai seguenti sistemi:
1) $ y(t) = sin(x(t +5)) $
2) $ y(n) = x (n+3)x(n-2) $
Dove y è il segnale di uscita ed x quello di ingresso.
Ora mi rendo conto che chiamarlo esercizio è un parolone, però nonostante abbia letto e riletto più volte quelle proprietà, non riesco a svolgerlo. Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 09/01/2019, 16:32
da gugo82
Visto che siamo in una stanza di Analisi e non di Ingegneria, dovresti assumere che chi frequenta questi lidi non abbia la tua stessa familiarità con i concetti di “linearità”, “stabilità”, “stazionarità”, “causalità”, “memoria”, etc...
Quindi, come minimo, ti conviene dare le definizioni di questi concetti.

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 09/01/2019, 17:20
da Ulisse802.11
Dici il vero, Gugo82, ho dimenticato la cosa fondamentale: le definizioni.
1) Stazionarietà: se le caratteristiche del sistema non variano nel tempo, il sistema è stazionario.
Formalmente, $ y(t)=T[x(t)] $ e allora $ T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$.

2) Causalità: un sistema è causale quando in valore dell'uscita all'istante $ t $ dipende solo dai valori assunti dall'ingresso negli istanti precedenti (o al limite coincidenti con) $ t $ stesso.
$ y(t)=T[x(alpha ),alpha <= t;t] $

3) Memoria: in un sistema con memoria, il calcolo del valore di uscita all'istante $ t $ presuppone la conoscenza dell'andamento del segnale di ingresso in tutto l'intervallo.

4) Stabilità: diciamo che un sistema è stabile se, sollecitato da un segnale con andamento arbitrario ma di ampiezza limitata, esso produce a sua volta un segnale di ampiezza limitata.

5) Linearità: un sistema è lineare se ad esso si applica il principio di sovrapposizione degli effetti. Ciò vuol dire che se il segnale di ingresso $ x(t) = alpha x_1(t)+beta x_2(t) $ è costituito da una combinazione lineare di coefficienti costanti alfa e beta delle due eccitazioni, il sistema risponde con $ y(t) = alpha y_1(t)+beta y_2(t) $ , dove $ y_1(t) = T[x_1(t)] $ e $ y_2(t) = T[x_2(t)] $ .

Queste sono le definizioni necessarie per l'esercizio.

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 09/01/2019, 19:27
da gugo82
Per i pedici basta un underscore. :wink:

Stanti le definizioni, direi che l’andamento delle cose è abbastanza ovvio... Dove trovi difficoltà?

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 09/01/2019, 23:40
da Ulisse802.11
Ho capito, grazie :D
La difficoltà che ho è portare alla pratica quelle definizioni, a parte quella di memoria che mi sembra la più semplice di tutte (non che le altre siano tanto complicate). Mi basterebbe un esempio di studio svolto per capire, dato che non ne ho neanche uno. Abbi pazienza

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 10/01/2019, 01:14
da gugo82
Prova tu.

Ad esempio, considera il primo sistema, cioè $x(t) \mapsto T[x](t):=sin x(t+5)$.
Ti sembra stabile? Perché?
Ti sembra lineare? Perché?
Ti sembra causale? Perché?
Ti sembra stazionario? Perché?
Ti sembra avere memoria? Perché?

P.S.: Incidentalmente, noto che la proprietà 1 potrebbe essere espresse meglio, così come la 2.
La stazionarietà equivale a dire che la legge che associa allo stato $x$ l’uscita $y=T[x]$ è invariante per traslazioni temporali (ciò si verifica, ad esempio, quando il sistema è governato da EDO autonome).
La 2 si potrebbe esprimere dicendo che \(T[x](t) = T[x_{\big|]-\infty, t]}](t)\) (ossia che il valore dell’uscita al tempo $t$ dipende unicamente dai valori della restrizione dell’ingresso $x$ all’intervallo $]-oo,t]$.

P.P.S.: Un chiarimento sulla 3... Essa sembra indicare che i sistemi con memoria siano quelli in cui l’operatore ingresso/uscita $T$ contiene quelli che in Analisi si chiamano di solito “operatori non locali”. Ad esempio, un sistema con memoria potrebbe essere quello con operatore ingresso/uscita $T[x](t) := ( int_(-oo)^(+oo) | x(tau)|text(d)tau )*x(t)$, o sbaglio?

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 10/01/2019, 09:54
da gugo82
@arnett: Nemmeno io ho mai studiato sistemi dinamici, per questo ho chiestole definizioni. :wink:

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 10/01/2019, 15:41
da Ulisse802.11
Ciao arnett, il link che mi hai fornito è esattamente quello che stavo cercando, ti ringrazio. Mi rimane solo un dubbio. In un esempio si studia la tempo varianza :
Tempo invarianza: Procediamo nuovamente calcolando y1(t) e y(t − t0):
$ y_1(t) = x(t − t_0) cos(t) $
$ y(t − t0) = x(t − t_0) cos(t − t_0) $
Il sistema `e tempo variante.

Il segnale di partenza è $ y(t) = x(t) cos(t+1) $
. Perché l'argomento del coseno viene cambiato in quel modo? Io mi aspettavo di trovare $ y_1(t) = x(t-t_0) cos(t+1-t_0) $ e sotto uguale, di conseguenza che in conclusione si trattasse di un segnale tempo invariante. Dov'è che sbaglio?

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 10/01/2019, 16:38
da gugo82
@Ulisse: Sarebbe però interessante se tu proponessi cenni di soluzione.

Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

MessaggioInviato: 10/01/2019, 16:52
da Ulisse802.11
Perché, nel mio ultimo messaggio che ho scritto?