Controimmagine di funzioni di Sobolev

[Wilde]

Sia $u\in H^1(\Omega)$ (spazio di Sobolev).
Mi chiedevo se potevo dire che l'insieme
\[
u^{-1}((-T,T)) \quad \quad (T>0).
\]
è aperto.
Per esempio nel caso unidimensionale posso prendere un rappresentante di $u$ assolutamente continuo e quindi posso concludere che l'insieme in questione è aperto (dato che è controimmagine di un aperto).

In generale se invece $\Omega\subset \RR^d$ posso comunque concludere qualcosa.

[Bremen000]

Mi pare che tu ti stia chiedendo se, presi \( d \in \mathbb{N}, d \ge 2 \) , \( \Omega \subset \mathbb{R}^d \) aperto e \( u \in H^1(\Omega) \), esiste un rappresentante continuo di $u$.

In generale la riposta è "no" e ci sono degli esempi che immagino tu conosca. Credo quindi di non aver capito la domanda.

[otta96]

Non so se è quello che vuole, ma magari la definizione di continuità per i controesempi che sa la fanno saltare aperti di forma diversa di quelli che interessano a lui, cioè forse vuole sapere se le retroimmagini di quegli aperti sono sempre aperte, che la funzione sia continua o meno.

[dissonance]

Sia $u\in H^1(\Omega)$ (spazio di Sobolev).
Mi chiedevo se potevo dire che l'insieme
\[
u^{-1}((-T,T)) \quad \quad (T>0).
\]
è aperto.
Per esempio nel caso unidimensionale posso prendere un rappresentante di $u$ assolutamente continuo e quindi posso concludere che l'insieme in questione è aperto (dato che è controimmagine di un aperto).

In generale se invece $\Omega\subset \RR^d$ posso comunque concludere qualcosa.

Non puoi fare nulla di tutto questo senza scegliere un rappresentante, anche nel caso unidimensionale, come del resto scrivi tu stesso. Data \(u\), ad essa puoi sempre sommare, per esempio, la funzione che vale \(T/2\) sui punti a coordinate razionali ed ecco che la controimmagine di \((-T, T)\) diventa una cosa ingestibile.

Con queste classi di funzioni, di solito, non si lavora così, ma si lavora per densità; tu consideri funzioni con tutta la regolarità possibile e vedi se riesci ad ottenere delle stime negli spazi che ti interessano. Tali stime si prolungano poi per densità. Comunque, so che ci sono libri che trattano questi aspetti "puntuali", come quello di Leoni e quello di Evans e Gariepy; se PROPRIO ti serve qualche informazione di questo tipo ti tocca andarli a spulciare.