Passa al tema normale
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.

Regole del forum

Consulta il nostro regolamento e la guida per scrivere le formule
Rispondi al messaggio

Convoluzione

14/01/2019, 16:53

salve, avrei dei dubbi su come svolgere una convoluzione tra:
$ x(t) = cos(2π14t)$
$ y(t) = 4e^ (−|t−2|) $

e ottengo i 2 integrali di convoluzione:
per t<2
$ int_(-oo )^(+2 )cos(2π14tau)4e^ (t−2-tau ) d tau $

per t>2
$ int_(2)^(+oo )cos(2π14tau)4e^ (-t+2-tau ) d tau $

mi potreste aiutare a capire come iniziare a svolgerli?
Grazie infinite

Re: Convoluzione

15/01/2019, 01:16

Per parti.
Ovviamente, $t$ è un parametro.

Re: Convoluzione

15/01/2019, 21:01

esxpe ha scritto:salve, avrei dei dubbi su come svolgere una convoluzione tra:
$ x(t) = cos(2π14t)$
$ y(t) = 4e^ (−|t−2|) $


Calma calma !
Andiamo con ordine.

In una delle due funzioni operiamo il cambio di variabile $t -> \tau$
e nell'altra $t -> t-\tau$.

Quindi l'integrale di convoluzione e':
$\int_{-infty}^{+infty} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^|t−2-tau| d\tau$

Ora discutiamo quel modulo, ovvero
$|t−2-tau| = (t−2-tau)$
se $\tau < t-2$

e

$|t−2-tau| = -(t−2-tau)$
se $\tau >= t-2$

Ora, una cosa che si omette sempre e che quindi spesso si dimentica, dell'integrale definito, e' che gli estremi sono riferiti alla variabile d'integrazione, ovvero l'integrale di prima andrebbe scritto così:
$\int_{\tau = -infty}^{tau = +infty} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^|t−2-tau| d\tau$
Normalmente questa omissione non crea problemi, salvo i casi come questi dove alla fine non ci si raccapezza piu'.

Esplicitando invece la variabile d'integrazione negli estremi diventa semplice scrivere l'integrale separato in due pezzi.

$\int_{\tau = -infty}^{tau = t-2} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^((t−2-tau)) d\tau + \int_{\tau = t-2}^{tau = +infty} \cos(2 \pi 14\tau)\ 4\ e^-(t−2-tau) d\tau $

Il fatto che un estremo di integrazione contenga un parametro usato anche nella funzione integranda non deve preoccupare, a $\tau$ si sostituisce tranquillamente $t-2$ una volta trovata la primitiva.
L'integrale si risolve per parti, come giustamente faceva notare gugo, ma si intravede gia' che quegli estremi all'infinito vanno trattati con delicatezza.
Rispondi al messaggio