Problemi con Laplace

Messaggioda Francikkk » 07/02/2019, 21:08

Salve a tutti, come anticipato dal titolo del post volevo presentarvi dei quesiti ai quali non ho trovato risposta ne su forum ne in rete riguardo alla Trasformata di Laplace e più in particolare alle sue applicazioni nell'analisi dei circuiti.
In particolare volevo capire come mai ( e se possibile dimostrare) la funzione di rete calcolata con la trasformata di Laplace risulta essere sempre una funzione razionale fratta, nelle ipotesi di circuiti a costanti concentrate e tempo-invarianti.
Inoltre mi chiedevo se qualcuno fosse in grado di dimostrare che se la parte reale di tutti i poli della funzione di rete è negativa allora il circuito risulta stabile. Ho capito che dipende dal fatto che la parte reale dei poli appare negli esponenziali dell'anti trasformata della risposta impulsiva e per questo essendo negativa li fa tendere a zero per t che tende a infinito ma mi chiedevo se qualcuno conosceva una dimostrazione formale di ciò.
Grazie in anticipo per l'aiuto!
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Re: Problemi con Laplace

Messaggioda iSte » 08/02/2019, 01:46

Premesso che è la sezione sbagliata, che la sintassi fa desiderare e che non si capisce niente, a intuito:

Per la prima parte: la "dimostrazione" è l'applicazione diretta della definizione di trasformata. In altri termini devi risolvere l'integrale. Risolvere al tuo posto l'integrale non mi è possibile per diverse ragioni; non hai specificato nè la funzione di trasferimento nè l'impulso iniziale del tuo sistema. Inoltre, "circuiti a costanti concentrate" non significa nulla (per altro, se mai, a parametri concentrati) se non specifichi quali siano i parametri concentrati. Circuito R? RC? RLC?

Per la seconda parte: anche qui, c'è di mezzo la definizione integrale di anti-trasformata. Euristicamente: trasformate e anti-trasformate non sono nient'altro che un accrocchio matematico per guardare la stessa cosa da un punto di vista "diverso" e più "semplice". Un sistema dinamico è per definizione un sistema che evolve in qualche modo rispetto il tempo. Puoi analizzare la dinamica del sistema nel tempo, ma la descrizione matematica di un fenomeno impulsivo nel tempo potrebbe essere quasi impossibile. Molto meglio, è passare al dominio delle frequenze attraverso trasformate (Fourier o Laplace), dove non perdi informazioni, ma con meno "sforzo" riesci a trarre conclusioni affidabili sulla dinamica del tuo sistema. Se i poli "stanno" nell'analisi in frequenza, non stai nient'altro che guardando il tuo sistema da quel punto di vista (ossia dal punto di vista delle "frequenze") in modo totalmente equivalente all'analisi nel tempo.

Trovi molto facilmente le definizioni di Trasformata e Anti-Trasformata di Laplace su Wikipedia, oppure, su un qualunque libro di Analisi 3 o di Teoria dei Segnali.
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Re: Problemi con Laplace

Messaggioda Camillo » 08/02/2019, 10:59

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Re: Problemi con Laplace

Messaggioda Francikkk » 09/02/2019, 14:49

Mi scuso innanzitutto per aver postato in un area non corretta cercherò di prestare più attenzione la prossima volta e vi ringrazio inoltre per le risposte.
Cercherò adesso di essere più preciso.
Con il primo quesito ero interessato a dimostrare che eseguendo la trasformazione con Laplace della risposta impulsiva di un circuito elettronico sul quale vigono le ipotesi di tempo invarianza e che il circuito sia a costanti concentrate ( questa seconda ipotesi fa assumere semplicemente che le dimensioni del circuito siano trascurabili rispetto alla velocità di propagazione dei segnagli che vi circolano, ovvero si considera che tale velocità di propagazione sia infinita, ciò permette di sostituire la geometria del circuito con la sua topologia, ed è grazie a questa ipotesi che nei circuiti elettrici non vengo utilizzate le complesse equazioni di Maxwell per la risoluzioni che al venire mendo di tali ipotesi si rendono nuovamente necessarie) si ottiene SEMPRE una Funzione di Rete di tipo razionale fratta (Indipendentemente dal tipo di circuito, purchè contenente solo generatori indipendenti o dipendenti e induttori resistori e condensatori, e dalle grandezze scelte come eccitazione/risposta nel calcolo della Funzione di Rete).

Mentre al secondo quesito ho già trovato risposta in rete.

Vi ringrazio nuovamente per la pazienza!
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Re: Problemi con Laplace

Messaggioda iSte » 09/02/2019, 20:23

Ho come l'impressione che tu stia copia incollando da qualche parte, da degli appunti probabilmente. Non percepisco tu abbia consapevolezza dei contenuti dietro le parole che riporti più o meno mnemonicamente. Partirei senz'altro a lavorare su questo aspetto.

In ogni caso, ho capito. Il circuito è un circuito RLC con costanti fissate nel tempo, ossia, R (resistenza), L (induttanza) e C (capacità) sono quantità costanti nel tempo (da qui la tempo invarianza). Come ho detto, studiare la dinamica di sistemi complessi (questo, per la verità è piuttosto semplice) nel dominio del tempo è complesso e richiede la risoluzione di equazioni differenziali, a volte non troppo "amichevoli". Passare al dominio delle frequenze permette di trasformare il problema da differenziale ad algebrico, di risolverlo facilmente e di anti-trasformare la soluzione per tornare nel dominio del tempo.
Per fornire una dimostrazione un po' formale, del perchè le funzioni di trasferimento sono tipicamente "fratte", per sistemi LTI a parametri concentrati, come l'RLC, bisogna partire un po' da lontano.
Considererò un caso specifico, ma la stessa procedura vale anche per disposizioni diverse del circuito RLC e per le altre grandezze elettriche dinamiche di riferimento.

Innazitutto, la funzione di trasferimento nel dominio del tempo altro non è che la relazione che lega la tua "grandezza dinamica" (i.e. grandezza eccitazione/risposta nella tua declinazione) all'ingresso e all'uscita; in altri termini, la legge fisica che la descrive.
Consideriamo per il esempio il circuito:

Immagine

Prendiamo la tensione come grandezza dinamica di riferimento e scriviamo un LKV per il circuito utilizzando le leggi costitutive del resistore (legge di Ohm) e dell'induttore (Faraday-Neumann-Lenz):

$ v(t)_i - Ri(t) - L (di(t))/(dt) = v(t)_u $

Viene utile qui provare ad esprimere la corrente i(t) in funzione della tensione in uscita $v(t)_u$. Per fare ciò, introduciamo la legge costitutiva del capacitore. la legge definisce che la carica accumulata agli estremi del capacitore è proporzionale alla tensione secondo una costante C detta "capacità del condensatore" e quindi secondo la seguente relazione:

$ q = C v $

Deriviamo ora ambo le parti per ottenere un'espressione funzione della corrente:

$ (dq)/(dt) = C (dv(t))/(dt) $ --> $ i(t) = C (dv(t))/(dt) $

Così che possiamo sostituire nel LKV la corrente con questa espressione. Facciamolo:

$ v(t)_i - RC (dv(t)_u)/(dt) - LC (d^2 v(t)_u)/(dt^2) = v(t)_u $

Abbiamo così ottenuto un'espressione che lega tensione in ingresso (generatore) e tensione in uscita. Quest'espressione è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti e si può in principio risolvere analiticamente senza dover necessariamente passare al dominio delle frequenze attraverso trasformate.
A noi interessa tuttavia utilizzare Laplace.
Facciamolo:

$ L { v(t)_i - RC (dv(t)_u)/(dt) - LC (d^2 v(t)_u)/(dt^2) } = L { v(t)_u } $

Da cui, per le proprietà della trasformata di Laplace (puoi trovarne un elenco per esempio qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... riet%C3%A0 ; tali proprietà possono essere dimostrate a partire dalla definizione di Trasformata ) si ottiene (NB: con le lettere maiuscole indichiamo le variabili trasformate e con s la variabile indipendente nel dominio delle frequenze):

$ V(s)_u = V(s)_i - RC s V(s)_u - LC s^2 V(s)_u $

Cioè:

$ V(s)_i = V(s)_u + RC s V(s)_u + LC s^2 V(s)_u $ --> $ V(s)_i = V(s)_u ( 1 + RC s + LC s^2 ) $ -->
$ V(s)_u = (V(s)_i) /( 1 + RC s + LC s^2 ) $ (1)

Facciamo ora un passo indietro. Consideriamo che si possa scrivere la relazione tra ingresso e uscita nel dominio del tempo sempre come:
$ v(t)_u = h(t) * v(t)_i $
Dove h(t) è la risposta impulsiva nel tempo (i.e. risposta all'impulso a Delta di Dirac) tra uscita e ingresso e il simbolo * sta per il "prodotto di convoluzione", anzichè l'operazione standard di moltiplicazione. Spiegare questa proprietà è parecchio complicato. In sostanza, si può dimostrare che la risposta ad un qualunque input (gradino, triangolare, a onda quadra, ecc.) si possa esprimere come convoluzione della risposta impulsiva e il segnale di ingresso stesso.
Ricordando che la trasformata di Laplace di un prodotto di convoluzione è il prodotto tra i due segnali, si ottiene:

$ V(s)_u = H(s) V(s)_i $ (2)

Nota: la Trasformata di Laplace di un segnale impulsivo è uguale a 1. Ergo, se il segnale in ingresso v(t)_i è impulsivo, V(s)_i=1, ergo il segnale in uscita V(s)_u è esattamente pari a alla funzione di trasferimento H(s).
Nel nostro caso del RLC, comparando (2) con (1) si ottiene:

$ H(s) = 1/(1+sV(s)_u+s^2V(s)_u$

Ergo, la funzione di trasferimento come una funzione fratta.
Come anticipato, la trattazione non è molto diversa per circuiti RLC in serie, CR, e così via.
iSte
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