Riprendo l'argomento in mano perché
non mi faccio capace (leggi: "non riesco proprio a capire"; scusate il vernacolo!) di come una cosa così semplice come la classificazione delle singolarità isolate possa risultare così ostica... Mentre, il più delle volte, è una cavolata paurosa!
Studiamo la funzione:
\[
f(z) := \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}}\; .
\]
Il dominio si ottiene imponendo le condizioni di esistenza come al solito, cioè risolvendo come d'uso il sistema:
\[
\begin{cases}
z\neq 0\\
1 - \cos \frac{1}{z} \neq 0
\end{cases}
\]
il che implica:
\[
\begin{cases}
z\neq 0\\
z \neq \frac{1}{2k\pi} &\text{, con } k \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0\}
\end{cases}\; ;
\]
dunque $Omega = "Dom" f = CC \setminus ( \{ 0\} uu \{ 1/(2k pi)\}_{k in ZZ, k != 0})$.
La $f$ è olomorfa in $Omega$ poiché composta da funzioni elementari e, perciò, olomorfe; quindi i punti singolari di $f$ cadono sulla frontiera del dominio di definizione, cioè in $partial Omega = \{ 0, oo\} uu \{ 1/(2k pi)\}_{k in ZZ, k != 0}$.
1Dato che $1/(2kpi) -> 0$ per $k-> +- oo$, il punto $z_0 := 0$ non è una singolarità isolata e perciò
non è classificabile.
2Poiché $partial Omega$ non ha altri punti di accumulazione a parte $z_0$, tutte le rimanenti singolarità sono classificabili, i.e. o sono poli o sono singolarità essenziali.
Guardiamo cosa accade in $z_k := 1/(2k pi)$ con $k in ZZ setminus \{ 0\}$.
Il semplice calcolo del limite:
\[
\lim_{z\to z_k} f(z) = \lim_{z \to 1/(2k\pi)} \frac{1}{1-\cos \frac{1}{z}} = \infty
\]
mostra che $z_k$ è un polo. Per stabilire l'ordine del polo $z_k$ sfruttiamo un po' di tecniche base per il calcolo dei limiti, cioè cambiamento di variabile, formule di archi associati e formula di Taylor: abbiamo:
\[
\begin{split}
\lim_{z \to z_k} f(z) &\stackrel{w = 1/z}{=} \lim_{w \to 2k\pi} \frac{1}{1 - \cos w}\\
&\stackrel{\zeta = w - 2k\pi}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1 - \cos (\zeta + 2k\pi)}\\
&= \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{1 - \cos \zeta}\\
&\stackrel{\text{Taylor}}{=} \lim_{\zeta \to 0} \frac{1}{\frac{1}{2}\zeta^2}
\end{split}
\]
e ciò mostra che $f$ è un infinito di ordine $2$ per $z -> z_k$.
Pertanto
ogni $z_k$ è un polo d'ordine $2$.
3La singolarità all'infinito va studiata con un po' più di attenzione, ma è possibile sfruttare lo stesso metodo.
Ricordo che la singolarità in $z_oo := oo$ di una qualsiasi funzione $f(z)$ va studiata utilizzando la funzione ausiliaria $g(w) = f(1/w)$; in particolare, $f(z)$ ha un polo d'ordine $n$ [risp. una singolarità essenziale] in $z_oo$ se e solo se la funzione $g(w)$ ha un polo d'ordine $n$ [risp. una singolarità essenziale] in $w_0=0$.
La funzione ausiliaria da considerare è:
\[
g(w) = \frac{1}{1-\cos \frac{1}{\frac{1}{w}}} = \frac{1}{1 - \cos w}
\]
e si vede immediatamente che $g(w)$ è un infinito d'ordine $2$ per $w\to 0=w_0$ (basta ragionare come sopra, ma senza tutte le sostituzioni), sicché $g$ ha un polo d'ordine $2$ in $w_0$.
Pertanto
$z_oo$ è un polo d'ordine $2$ per $f$.
Vi pare?