Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda thedarkhero » 20/02/2019, 16:45

Sia $u\inL_{loc}^1(RR^n)$ una funzione che gode della seguente proprietà:
$u(x)=1/| \partial B(x,r)| \int_{\partial B(x,r)}u(y)ds(y)$, $AAr>0$ e $AAx\inRR^n$, dove $| \partial B(x,r)|$ è la misura del bordo della palla di centro $x$ e raggio $r$.
Vorrei far vedere che $u\inC(RR^n)$.
Come posso utilizzare la convergenza dominata per mostrare che la mappa $(x,r) \mapsto 1/| \partial B(x,r)| \int_{\partial B(x,r)}u(y)ds(y)$ è continua?
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda gugo82 » 20/02/2019, 17:24

Ma la $u$ non è armonica?

"A occhio", quella richiesta è una delle proprietà di media soddisfatte dalle funzioni armoniche; quindi dovresti riuscire a trovare una dimostrazione di questo fatto in qualsiasi testo che tratti di equazioni ellittiche/funzioni armoniche.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda thedarkhero » 20/02/2019, 18:10

Si, il risultato riguarda le funzioni armoniche.
Stavo riflettendo sul teorema di Koebe (Teorema 19 di questa dispensa).
Nelle ipotesi del teorema di richiede che $u$ sia continua e che soddisfi la proprietà del valore medio che ho descritto nel post precedente, la tesi è che $u$ è liscia e armonica.
Quello che cerco di mostrare è che indebolendo l'ipotesi di continuità di $u$ con l'ipotesi $u\inL_{text(loc)}^1$ si può sfruttare la proprietà del valore medio per mostrare che $u$ è continua e dedurre la stessa tesi del teorema di Koebe.

Ho provato a cercare nell'Evans ma non vi è alcun cenno alla possibilità di generalizzare il teorema come ho descritto.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda dissonance » 20/02/2019, 22:54

Non sono sicuro sia vero. In dimensione 1,quell'integrale si riduce a \[\frac12( u(x+r) +u(x-r)), \] e se u non è continua non vedo perché questa somma debba esserlo. Ma forse in dimensione superiore c'è un effetto regolarizzante, ora non saprei dirti in verità.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda gugo82 » 20/02/2019, 23:40

Sì, dissonance, chiaro che per $n=1$ non va (è la prima cosa che ho pensato di controllare anch’io! :lol: ).
Tuttavia, proprio per questo viene in mente di controllare cosa succede se $n>=2$.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda dissonance » 21/02/2019, 00:30

Sicuramente ci sono problemi in tutte le dimensioni; un esempio facile è \(u(x)=\mathbf 1_{\{|x|\le 1\}}\), per cui la media sferica
\[
Mu(x, r):=\frac{1}{r^{n-1}|\mathbb S^{n-1}|} \int_{r\mathbb S^{n-1}} u(y)\, dS, \]
verifica
\[
Mu(0, r)=\begin{cases} 1, & r\le 1\\ 0, & r>1,\end{cases}
\]
quindi non è che \(Mu\) è continua sempre e comunque.

In ogni caso, condivido il tuo commento, se \(u(x)=Mu(x, r)\) per ogni \(x\) e ogni \(r\) allora \(u\) è una funzione armonica e quindi tutto diventa immediatamente smooth.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda thedarkhero » 21/02/2019, 15:37

La funzione $1_\{|x|<=1\}$ non soddisfa la proprietà del valore medio.

Il teorema di Koebe afferma che:
Se
$(1)$ $u$ è continua
$(2)$ $u(x)=1/|\partialB(x,r)| \int_{\partialB(x,t)}u(y)ds(y)$ per ogni $x\inRR^n$ e per ogni $r>0$
allora
$(3)$ $u$ è liscia
$(4)$ $u$ è armonica.

Quello che proponevo di fare è sostituire l'ipotesi $(1)$ con l'ipotesi
$(1^-)$ $u \in L_{loc}^1(RR^n)$
e di mostrare che $(1^-)$ insieme a $(2)$ implicano $(1)$.
Per fare questo una possibile idea potrebbe essere utilizzare la convergenza dominata per mostrare che se vale $(1^-)$ allora la mappa $(x,r) \mapsto 1/|\partialB(x,r)| \int_{\partialB(x,t)}u(y)ds(y)$ è continua, quindi per l'ipotesi $(2)$ è continua la mappa $x \mapsto u(x)$.
Non riesco però a capire come applicare la convergenza dominata in questo caso.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda dissonance » 21/02/2019, 17:09

E si, sai perché non riesci ad applicare la convergenza dominata? Il dominio di integrazione si muove con \(x\) e \(r\); per prima cosa, bisogna scrivere l'integrale come un integrale su \(\mathbb R^n\), ma ci spunta una delta di Dirac:
\[
\frac{1}{|\partial B(x, r)|}\int_{\mathbb R^n} \delta(|y-x|-1)u(y)\, dV(y).\]
E quindi addio convergenza dominata. Da qua non si passa.

---

Invece, dimostriamo che \((1^-)\) e \((2)\) implicano la proprietà di valor medio sulle palle solide; ovvero, che
\[
\tag{2^+} u(x)=\frac{1}{|B(x, r)|}\int_{B(x, r)} u(y)\, dy.\]
Infatti, assumendo \(x=0\) senza perdita di generalità,
\[
\frac{1}{|B(0, r)|}\int_{B(0, r)} u(y)\, dy=\frac{u(0)}{|B(0,r)|} \int_0^r |\partial B(0, \rho)|\, d\rho = u(0),\]
dove abbiamo usato \((1^-)\) nella prima identità, e \(\int_0^r |\partial B(0, \rho)|\, d\rho = |B(0, r)|\) nella seconda.

Adesso siamo sulle palle solide, e puoi applicare tutta la convergenza dominata che vuoi.
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda thedarkhero » 22/02/2019, 02:50

Ok, le due formulazioni della proprietà del valore medio (sul bordo della palla o sulla palla solida) sono equivalenti.

Ma una volta riformulato il problema in termini di palle solide, come applico la convergenza dominata per ottenere la continuità della funzione $u$?
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Re: Applicazione della convergenza dominata

Messaggioda dissonance » 22/02/2019, 10:25

Riscrivi l'integralecome un integrale su R^n e da là è evidente.
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